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1、2.2.2 反证法,1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.,1.反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) 结论的否定,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原命题的结论. A. B. C. D. 解析:由反证法的定义知,应选C. 答案:C,【做一做2】 否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的假设为( ) A.a,b,c都是奇数 B.a,b
2、,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数 解析:对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”,故选D. 答案:D,2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.,1.怎样理解反证法的概念? 剖析:(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性. (2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”.其中,第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻
3、辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.,2.反证法解题的实质是什么? 剖析:用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;要注意用反证法解题,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.,3.反证法证题的步骤有哪些? 剖析:反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程. 用反证法证明命题“若p,则q”的过程可
4、以用以下框图表示: 肯定条件p, 否定结论q导出逻 辑矛盾“若p,则 q”为假“若p,则q” 为真,这个过程包括下面三个步骤: (1)反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真; (2)归谬由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理,得出矛盾; (3)存真由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立. 简单概括反证法的证明过程就是“反设归谬存真”.,温馨提示用反证法证明数学命题,需要注意以下几点: (1)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步,也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面,直接影响下一步的证明.做好 “反设”应明确:正确分清题设和结论
5、;对结论实施正确否定;对结论否定后,找出其所有情况. (2)反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进行正确推理,推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.,(3)反证法中引出矛盾的结论,不是推理本身的错误,而是开始假定的“结论的反面”是错误的,从而肯定原结论是正确的. (4)宜用反证法证明的题型有:一些基本命题、基本定理;易导出与已知矛盾的命题;“否定性”命题;“唯一性”命题;“必然性”命题;“至多”“至少”类命题;涉及“无限”结论的命题.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型
6、四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法,通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,很容易推出矛盾,从而达到证明的目的.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,用反证法证明唯一性命题 【例2】 求证:两条相交直线有且只有一个交点. 分析:根据题意写出已知、求证,再用反证法,即否定结论,把假设和已知条件结合起来去推出矛盾. 证明:已知:a与b是两条相交直线, 求证:a与b有且只有一个交点. 证明:假设结论不正确,则有两种可能:a与b无交点
7、,或不止有一个交点. 若直线a,b无交点,题型一,题型二,题型三,题型四,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾. 若直线a,b不止有一个交点,则至少有两个交点A和B, 这样同时经过点A,B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 故直线a与b有且只有一个交点. 综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.用反证法证明问题时要注意以下三点: (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一种可能,反证都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一
8、条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.,题型一,题型二,题型三,题型四,(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的. 2.注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 已知函数y=f(x)在区间a,b上的图象连续不间断,且f(x)在a,b上单调,f(a)0,f(b)0,f(b)0,即f(a)f(b)0, 故y=f(x)在区间a,b上一定存在零点x0. 下面用反证法证明只有一个零点x0. 假设y=f(x)在a,b上还存在一个零点x1(x1x0), 则f
9、(x1)=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,由函数f(x)在a,b上单调,且f(a)0,f(b)x0,则f(x1)f(x0),即00,矛盾. 因此假设不成立,即f(x)在a,b上有且只有一个零点.,题型一,题型二,题型三,题型四,用反证法证明“至多”或“至少”类命题 【例3】 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 分析:假设三条抛物线都不与 x轴有两个不同的交点演绎推理,利用 0得出矛盾原命题得证,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线
10、都不与x轴有两个不同的交点, 由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0. 同向不等式求和,得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0. 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.所以a=b=c. 这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时,适合用反证法. 2.常见的“结论词”与“反设词”.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,
