《（文理通用）2018届高三数学一轮复习 2.8函数与方程课件 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（文理通用）2018届高三数学一轮复习 2.8函数与方程课件 （64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 函数与方程,【知识梳理】 1.函数零点 (1)定义:对于函数y=f(x)(xD),把使_的实数x叫做 函数y=f(x)(xD)的零点.,f(x)=0,(2)三个等价关系:,(3)存在性定理:,连续不断,f(a)f(b)0,f(x0)=0,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),3.二分法 (1)二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且_ 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_ _,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.,f(a)f(b)0,一分,为二,(2)用二分法求函数零点近似值的
2、步骤: 第一步:确定区间a,b,验证_,给定精确度. 第二步:求区间(a,b)的中点c. 第三步:计算f(c), 若f(c)=0,则c就是函数的零点; 若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c); 若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b). 第四步:判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点 近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.,f(a)f(b)0,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0); 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一定有f(a)f(b)0;,二次函数y=ax
3、2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点; 若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误,函数f(x)=x2-1的零点为-1和1,而并非其与x轴的交点(-1,0)与(1,0). 错误.函数f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1) f(2)0. 正确.当b2-4ac0时,二次函数图象与x轴无交点,从而二次函数没有零点. 正确.由已知条件,数形结合得f(x)与x轴在区间a,b上有且仅有一个交点.故正确.,2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似零
4、点,验证 f(2)f(4)0,给定精确度=0.01,取区间(2,4)的中点x1= =3,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0所在的区间为 ( ) A.(2,4) B.(3,4) C.(2,3) D.(2.5,3) 【解析】选C.由零点存在性定理知x0(2,3).,3.(2014杭州模拟)函数f(x)= 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.函数f(x)= 的零点 个数,是方程 的解的个数,是 方程 的解的个数,也就是函数y= 与y= 的图象的交点个数.在同一坐 标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.,4.(2014北京模拟)已知方程lgx=2-x的解为x
5、0,则下列说法 正确的是( ) A.x0(0,1) B.x0(1,2) C.x0(2,3) D.x00,1 【解析】选B.由lgx=2-x得lgx+x-2=0, 令f(x)=lgx+x-2, 则当x0时,f(0)0,所以f(1)f(2)0, 又f(x)在(0,+)上连续,故x0(1,2).,5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下: 据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为 .,【解析】由题意知,函数零点在区间(1.5562,1.5625)内,又零点近似值保留三位有效数字,故零点近似值为1.56. 答案:1.56,考点1 方程根的个
6、数的确定与应用 【典例1】(1)(2014合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1) =f(x+1),且在x0,1时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)= 在0, 上的根的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2014杭州模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ (x0). 若g(x)=m有实数根,求m的取值范围; 确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.,【解题视点】(1)根据已知条件作出函数f(x)与y= 在 0, 上的图象,数形结合求解. (2)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解.转化为 两个函数f(x)与g(x)有两个
7、交点,从而用数形结合法求解.,【规范解答】(1)选C.因为f(x)为偶函数,所以当x-1,0 时,-x0,1,所以f(-x)=x2,即f(x)=x2, 又f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f(x+1)+1)=f(x+1)-1)=f(x), 故f(x)是以2为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数 y=f(x)与y= 在0, 上的图象如图所示,数形结合得两图 象有3个交点,故方程f(x)= 在 0, 上有三个根.,(2)方法一:因为g(x)=x+ =2e,等号成立的条件是 x=e,故g(x)的值域是2e,+),因此,只需m2e,则g(x)=m就 有实数根. 方法二:作出g(x)=
8、x+ (x0)的大致图象如图: 可知若使g(x)=m有实数根,则只需m2e.,若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两 个不同的交点,作出g(x)=x+ (x0)的大致图象. 因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2, 所以f(x)的图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故 当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)- f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).,【互动探究】若将本例(1)中“ ”变为“ ”,则方 程f(x)= 在-3,3上所有根的和
9、为多少? 【解析】由本例(1)解析知f(x)= 在-3,3上有六个不 同根,不妨设为x1x2x3x4x5x6,由图象关于y轴的对称性知: x1+x6=0,x2+x5=0,x3+x4=0,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=0.,【规律方法】 1.确定方程f(x)=g(x)在区间a,b上根的个数的方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=g(x)易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间a,b上再判断. (2)数形结合法:通过画函数y=f(x)与y=g(x)的图象,观察其在区间a,b上交点个数来判断. 2.有关方程根的计算与大小比较的方法 数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与
10、比较大小.,3.已知方程根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离得a=f(x),转化成求函数f(x)值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.,【变式训练】(1)(2014绍兴模拟)设方程log4x- =0, =0的根分别为x1,x2,则( ) A.0x1x21 B.x1x2=1 C.1x1x22 D.x1x22,【解析】选A.在同一坐标系内画出函数y= ,y=log4x,y= log x的图象,如图所示,则x11
11、x20. 由log4x1= , 得 所以0x1x21,故选A.,(2)(2014临沂模拟)若方程 有解,则a的取 值范围为 . 【解析】由已知得 又 0,得a0. 答案:(-,0),【加固训练】 1.(2014武汉模拟)若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于1, 一根小于1,则m的取值范围是( ) A.( ,+) B.(-,- ) C.(-,-2)(2,+) D. ,+) 【解析】选A.令f(x)=x2-2mx+4,由已知得f(1) ,即m( ,+).,2.方程|x|=cosx在(-,+)内( ) A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根 【解析】选C.构造两
12、个函数y=|x|和y=cosx,在同一个平面直角坐标系内画出它们的图象,如图所示,观察图象知有两个公共点,所以已知方程有且仅有两个根.,3.(2013马鞍山模拟)若方程|x2+4x|=m有实数根,则所有实数根的和可能为( ) A.-2,-4,-6 B.-4,-5,-6 C.-3,-4,-5 D.-4,-6,-8,【解析】选D.令f(x)=|x2+4x|,其图象如图所示: f(x)的图象关于直线x=-2对称,当m=0或m4时,方程所有实根之和为-4;当m=4时,方程所有实根之和为-6,当0m4时,方程所有实根之和为-8,故选D.,考点2 确定函数零点所在的区间 【典例2】(1)(2013重庆高考
13、)若abc,则函数f(x)= (x-a) (x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于 区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内 (2)(2014嘉兴模拟)设函数y=x3与y= 的图象的交点为 (x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是 .,【解题视点】(1)直接根据零点存在性定理判断. (2)画出两个函数的图象,寻找交点所在区间. 【规范解答】(1)选A.因为a0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,即函数的两个零点
14、分别位于区间(a,b)和(b,c)内.,(2)设f(x)=x3- ,则x0是函数f(x)的零点, 在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图 象如图所示. 因为f(1)=1- =-10,所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2). 答案:(1,2),【规律方法】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,关注图象的准确性 本例第(2)题在求解时容易因作
15、图不准确而导致求错区间,在利用数形结合法确定零点所在区间时,所画图象一定要规范、准确,否则易致误.,【变式训练】(2014宁波模拟)已知x0是函数f(x)= +lnx的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则( ) A.f(x1)0,f(x2)0 C.f(x1)0,f(x2)0,【解析】选D.令f(x)= +lnx=0. 从而有lnx= ,此方程的解即为函数f(x)的零点,在同一坐 标系中作出函数y=lnx与y= 的图象如图所示.由图象易知, lnx1,从而lnx1- 0.,【加固训练】(2013烟台模拟)函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 【解析】选B.因为f(x)在(0,+)上为单调增函数,且f(1)=ln2-20,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)中间,选B.,考点3 函数零点个数问题 【考情】函数零点个数问题是高考命题考查函数零点的一个高频考点,常与函数的图象与性质交汇,以选择题、填空题的形式出现,考查确定函数零点个数,应用函数零点个数,以及应用函数零点所具备的性质计算与比较大小等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013天
