《（广东专用）2018年高考数学 第三章 第三节 三角函数的图象与性质课件 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（广东专用）2018年高考数学 第三章 第三节 三角函数的图象与性质课件 理 新人教a版（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 三角函数的图象与性质,1.周期函数和最小正周期 (1)周期函数：对于函数f(x)的定义域中的每一个值x，都存在 一个_T，使得_,则称f(x)为周期函数，T 为f(x)的一个周期. (2)最小正周期：周期函数f(x)的所有周期中，最小的一个 _.,非零常数,f(x+T)=f(x),正数,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,R,R,-1,1,-1,1,R,2k-,2k,2k,2k+,(kZ),(kZ),2k(kZ),+2k,(kZ),(k,0),kZ,x=k,kZ,判断下面的结论是否正确(请在括号中打“ ”或“”). (1)常数函数f(x)=a是周期函数，它没有最小正周期.(
2、) (2)y=sin x在x0, 上是增函数.( ) (3)y=cos x在第一、二象限上是减函数.( ) (4)y=tan x在整个定义域上是增函数.( ) (5)函数y=sin xcos x是R上的奇函数.( ) (6)y=tan 2x的最小正周期为.( ),【解析】(1)正确.由周期函数的定义，对任意非零实数b,都 有f(x+b)=a,故任意非零实数都是f(x)的周期，故没有最小正 周期. (2)正确.由y=sin x在x- , 上递增，知y=sin x在 0, 上是增函数. (3)错误.y=cos x在(2k,2k+)(kZ)上递减，但不能说 在第一、二象限内递减.,(4)错误.y=t
3、an x在(k- ,k+ )(kZ)上递增，但在整 个定义域上并不单调. (5)正确.f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x). 由奇函数定义可知y=f(x)=sin xcos x是R上的奇函数. (6)错误.由T= ,知y=tan 2x的最小正周期为 . 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.下列函数中，在 ,上是增函数的是( ) (A)y=sin x (B)y=cos x (C)y=sin 2x (D)y=cos 2x 【解析】选D.由x ,，得2x,2, 又由y=cos x在2k-,2k(kZ)上是增函数， 故y=cos 2x在 ,
4、上是增函数.,2.函数y=cos(2x+ )的图象的一条对称轴方程是( ) (A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x= 【解析】选B.方法一：由2x+ =k,kZ得,x= , kZ.k=0时，x=- ,故选B. 方法二：排除法.在函数的对称轴上，函数取最大或最小值. 而当x=- 时，2x+ =2(- )+ =0,此时函数取得最大值， 故x=- 是函数的一条对称轴.,3.函数f(x)=tan x(0)的图象与直线y=a相交的相邻两交 点间距离是 ,则f( )的值是( ) (A) (B) (C)1 (D)- 【解析】选B.由相邻两交点间距离是 ,知f(x)的周期是 , 由 ,得=2.f(x
5、)=tan 2x，f( )=tan = tan = .,4.函数y=sin(x+ )的递减区间是_. 【解析】由2k+ x+ 2k+ ,kZ, 得2k+ x2k+ ,kZ. 故函数的单调递减区间是2k+ ,2k+ (kZ). 答案:2k+ ,2k+ (kZ),5.函数f(x)= 的定义域是_. 【解析】由题意知tan( -x)0，即tan(x- )0, 即k- x- k,kZ, k- xk+ ,kZ. 答案:x|k- xk+ ,kZ,考向1 三角函数的定义域和值域 【典例1】(1)(2013阳江模拟)函数y= 的定义域为 ( ) (A)- , (B)k- ,k+ ,kZ (C)2k- ,2k+
6、 ,kZ (D)R,(2)已知函数y=sin x的定义域为a,b,值域为-1, ， 则b-a的值不可能是( ) (A) (B) (C) (D) (3)当x , 时，函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是_， 最大值是_. 【思路点拨】(1)结合单位圆或余弦函数的图象求解. (2)作出函数图象数形结合求解. (3)利用同角三角函数关系式转化为关于sin x的二次函数求解.,【规范解答】(1)选C.由题意可得 cos x- 0, 即cos x ,如图可知. 角的终边落在- 与 之间的阴影 部分(包括边界). 故2k- x2k+ ,kZ,故选C.,(2)选A.画出函数ysin x的草图分析，
7、当定义域为 时，b-a= ,当定义域为 或 时，b-a= ,所以ba的取值范围为 .,(3)因为x ,所以- sin x1, y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1 =2(sin x- )2+ , 所以当sin x= 时，ymin= 当sin x=1或- 时，ymax=2. 答案: 2,【互动探究】本例题(3)中若将cos x用sin x代替，sin x用cos x代替，又将如何求解？ 【解析】由x ,所以-1cos x . y=3-cos x-2sin2x=2cos2x-cos x+1 =2(cos x- )2+ , 当cos x= 时，ymin= . 当cos x=
8、-1时，ymax=4.,【拓展提升】 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的值域直接求. (2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域. (3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域. (4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.,【变式备选】(1)函数y= 的定义域为_. (2)求函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x0,的最大值和最小值. 【解析】(1)由2s
9、in x-10得sin x ,又sin x1， sin x1， 2k+ x2k+ (kZ). 答案:2k+ ，2k+ (kZ),(2)设sin x-cos x=t,t= sin(x- ), x0,- x- ,- sin(x- )1， 得t-1, , sin xcos x= ,y=t+ =- t2+t+ =- (t-1)2+1, 当t=1时，ymax=1； 当t=-1时，ymin=-1.,考向2 三角函数的单调性 【典例2】求下列函数的单调区间. (1)y=sin( -2x). (2)y=|tan x|. (3)y=cos(2x+ ).,【思路点拨】(1)利用诱导公式将x的系数化成正值，再利用正
10、弦函数的单调区间求解. (2)利用数形结合法求解. (3)利用余弦函数的单调性求解.,【规范解答】(1)原函数可化为y=-sin(2x- )，故所求函数的 增区间是y=sin(2x- )的减区间. 由2k+ 2x- 2k+ ,kZ. 得k+ xk+ ,kZ. 所求函数的减区间是y=sin(2x- )的增区间. 由2k- 2x- 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ，kZ.,故所求函数的增区间为k+ ,k+ (kZ), 减区间为k- ,k+ (kZ). (2)作出函数y=|tan x|的图象如图. 可知所求函数的增区间是k,k+ )(kZ), 减区间是(k- ,k(kZ).,(3)由2k-2x+
11、2k kZ，得 k- xk- ,kZ. 由2k2x+ 2k+,kZ，得 k- xk+ ,kZ. 故所求函数的增区间是k- ,k- (kZ), 减区间是k- ,k+ (kZ).,【拓展提升】三角函数的单调区间的求法 (1)代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.,(2)图象法 函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 【提醒】求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数
12、自身的定义域.,【变式训练】已知函数y=sin x在区间- , 上是减函数，则的取值范围是( ) (A)- ，0) (B)-3，0 (C)(0， (D)(0，3,【解析】选A.方法一：由题意可知0, 由x- , 得,x ,- . 又函数在区间- , 上为减函数， 解得- 0.,方法二：特值验证法. 当= 时，x- , ，函数是增函数. 当=3时，x-,函数不单调. 当=-3时，x-,函数不单调. 故排除B,C,D，选A.,考向3 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 【典例3】(1)(2013遵义模拟)若函数f(x)= sin(x+ ) (0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( ) (
13、A)(- ,0) (B)(0,0) (C)(- ,0) (D)( ,0),(2)(2013东莞模拟)若函数f(x)=cos(2x+)的图象关于点 ( ,0)成中心对称，且- ，则函数y=f(x+ )为 ( ) (A)奇函数且在(0, )上单调递增 (B)偶函数且在(0, )上单调递增 (C)偶函数且在(0, )上单调递减 (D)奇函数且在(0, )上单调递减,(3)已知函数f(x)=2sin(x+),对于任意x都有 f( +x)=f( -x)，则f( )等于( ) (A)2或0 (B)-2或2 (C)0 (D)-2或0 【思路点拨】(1)先利用已知周期求得,再利用对称中心为图象与x轴交点即纵坐
14、标为0求解. (2)先根据对称性求得的值，然后再判断函数的性质. (3)利用已知可得对称轴，从而获解.,【规范解答】(1)选C.由T=1，得=2, f(x)= sin(2x+ ). 令2x+ =k，kZ,得x= ,kZ. 令k=0得x=- ，故(- ,0)是对称中心. (2)选D.因为函数f(x)=cos(2x+)的图象关于点( ,0) 成中心对称，则 +=k+ ,kZ. - ,取k=2,则=- ,y=f(x+ )=cos(2x+ )=-sin 2x, 该函数为奇函数且在(0, )上单调递减. (3)选B.由f( +x)=f( -x),得x= 是f(x)的一条对称轴， 故f( )是函数的最大值或最小值，即为2或-2.,【互动探究】本例题(3)中若再增加条件T= ,| , 则的值如何求解？ 【解析】由T= ,得=4, 故4 +=k+ ,kZ.=k- , 又| ,故- k- , 即- k ,又kZ,k=0. =- .,【拓展提升】 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三 角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断. 2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(x
