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1、2.1 曲线的参数方程读教材填要点定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数atb如果对于t的每一个值(atb)式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数如果从参数方程中消去参数t，就得到联系x和y的方程F(x，y)0，则方程F(x，y)0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)小问题大思维1参数方程中的参数t是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数2曲线的参数方程一定是唯一
2、的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样如和(mR) 都表示直线x2y1.将参数方程化为普通方程例1指出下列参数方程表示什么曲线：(1)(t为参数)(2)(t为参数)(3)(t为参数)思路点拨本题考查化参数方程为普通方程的方法解答此题需要从一个方程中解出t，代入另一个方程精解详析(1)(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16，即(x1)2(y2)216，表示以(1，2)为圆心，半径为4的圆(2)22cos2tsin2t1，即1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(3)x2y2(2t2t)2(2t2t)24，即y2x24.又2t0，y2 2，故y2x24(y2)，它
3、表示双曲线的上支(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：代入法先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去参数例如，对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2cos21消参；如果是常数，t是参数，那么可以利用(t)2(t)24消参(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的1已知曲线的参数方程为02.把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线解：由xsin 1，ycos 3可得sin x
4、1，cos y3.由sin2cos21得(x1)2(y3)21，曲线的普通方程为(x1)2(y3)21，它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆求曲线的参数方程例2经过原点作圆x22axy20的弦，求这些弦的中点的轨迹参数方程思路点拨本题考查曲线参数方程的求法解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.精解详析如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为，取作为参数已知圆的圆心是O(a,0)，连接OM，那么OMOQ，过点M作MMOO，那么|OM|acos ，(为参数)这就是所求轨迹的参数方程(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系
5、，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标，画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来2如图所示，OA是圆C的直径
6、，且OA2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA，交OA于D，PBOA.试求点P的轨迹的参数方程解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ.由PQOA，PBOA，得xODOQcos OAcos22acos2，yABOAtan 2atan .所以P点轨迹的参数方程为()一、选择题1将参数方程(02)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析：选C化为普通方程：yx2，但是x2,3，y0,12当参数变化时，由点P(2cos ，3sin )所确定的曲线过点()A(2,3) B(1,5)C. D(2,0)解析：选D当2cos 2，即cos 1
7、时，3sin 0.3曲线的参数方程为则曲线是()A线段 B双曲线的一支C圆 D射线解析：选D消去参数得x3y50，且x2，故是射线4下列参数方程(t为参数)与普通方程x2y0表示同一曲线的方程是()A. B.C. D.解析：选DA显然错误，B中x1,1与原题中x的范围不同，C可化为y0，故选D.二、填空题5方程x2y24tx2ty3t240(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为_解析：由x2y24tx2ty3t240得(x2t)2(yt)242t2.设圆心坐标为(x，y)，则答案：6已知曲线C的参数方程是(t为参数)则点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系_(填点是否在曲线上
8、)解析：将M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t0.因此M1在曲线C上同理可知方程组无解，故M2不在曲线C上答案：M1在曲线C上，M2不在曲线C上7若点(x，y)在曲线(02)上，则x2y2的最小值是_解析：法一：由题可知，x2y2(32cos )2(42sin )22912cos 16sin 2920cos()(tan )，当cos()1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x3)2(y4)24，它表示圆令tx2y2，则t可看成圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin229，所以x2y2的最小值为9.答案：98在直角
9、坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析：曲线C1的普通方程为2xy3，曲线C2的普通方程为1.直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a.答案：三、解答题9化下列参数方程为普通方程：(1)(tR且t1)；(2).解：(1)变形为x1，y2.xy1(x1)(2)式平方，再结合得y2x22x.由xtan 知|x|2.所以方程为(x1)2y21(|x|2)10物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，求以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程解：设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为
10、M(x，y)，由于物体作平抛运动，依题意，得这就是物体所经路线的参数方程11舰A在舰B的正东，相距6 km；舰C在舰B的北偏西30，相距4 km.它们准备围捕海中某动物，某时刻舰A发现动物信号，4 s后舰B、舰C同时发现这种信号，舰A于是发射麻醉炮弹假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s，炮弹初速度为 km/s，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(3,0)，A(3,0)，C(5,2)设该动物位于P(x，y)因为|BP|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y(x7)又|PB|PA|4，所以P在以A，B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是1.从而得P(8,5)设xAP，则tan kAP，60.这样炮弹发射的方位角为北偏东30.再以A为原点，AP为x轴建立坐标系xAy(如图)|PA|10，设弹道曲线方程是(其中为仰角)将P(10,0)代入，消去t便得sin 2，30或60.这样舰A发射炮弹的仰角为30或60.7
