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1、3.2 导数的应用,高考理数,1.函数的单调性 对于在(a,b)内可导的函数f(x),若f (x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则 f (x)0(x(a,b)f(x)在(a,b)上为 增函数 ; f (x)0(x(a,b)f(x)在(a,b)上为 减函数 . 2.函数的极值 (1)设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数y=f(x)的一 个 极小值 ,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值. (2)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在x=x0处连续时, (a)如果在x0附近的左侧 f (x)
2、0 ,右侧 f (x)0 ,那么 f(x0)是极小值.,知识清单,3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值; (2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是 最大值 ,最小的一个是 最小值 . 【知识拓展】 1.在确定函数的单调区间,求函数的极大(小)值时,都应首先考虑所给函数的定义域,函数的单调 区间应是其定义域的子集. 2.当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时,不能把这些区间取并集. 3.f (x)0(或f (x)0)在某一区间上成
3、立是f(x)在该区间上为增函数(或减函数)的充分不必要条件. 4.极值点不一定是最值点,最值点也不一定是极值点,但如果连续函数在开区间(a,b)内只有一个 极值点,则极大值就是最大值,极小值就是最小值. 5.在求可导函数的最值时,不必讨论导数为零的点是否为极值点,直接将导数为零的点与端点的 函数值进行比较即可. 6.对于一般函数而言,函数的最值必在下列各点中取得:导数为零的点,导数不存在的点,端点.,1.利用导数的符号判断函数的增减性 函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果f (x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f (x)0,那么函数y= f(
4、x)在这个区间内单调递减. 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出f (x),令f (x)=0,解此方程,求出它在定义域内的所有实根. (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用 这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间. (4)确定f (x)在各个小区间内的符号,根据f (x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间内的增减 性. 3.在研究含有参变量的函数f(x)的单调性时,既要对方程f (x)=0的根是否在函数f(x)的定义域内,突破方法,方法1 利用导数研究函数的单调性,进行讨论,还要对方
5、程f (x)=0的根与函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的大小进行讨论. 4.已知函数单调性,逆向求参问题的转化方法: (1)若函数y=f(x)在区间m,n上单调递增f (x)0在m,n上恒成立,即求f (x)min. (2)若函数y=f(x)在区间m,n上存在递增区间x0m,n,使f (x0)0成立,即求f (x)max. (3)若函数y=f(x)在区间m,n上不单调导函数y=f (x)在m,n上有零点. 例1 (2013天津,20,14分)已知函数f(x)=x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的t0,存在唯一的s,使t=f(s); (3)设(2)中
6、所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当te2时,有 . 解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+). f (x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f (x)=0,得x= . 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以函数f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是 . (2)证明:当00.故存在唯一的s(1,+ ),使得t=f(s)成立. (3)证明:因为s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s1,从而 = = = = ,其 中u=ln s. 要使 e2时,若s=g(t)e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)f(e)=e2,矛盾.所以se,即u1,从而
7、ln u0成立. 另一方面,令F(u)=ln u- ,u1. F(u)= - , 令F(u)=0,得u=2.当10;,当u2时,F(u)1,F(u)F(2)e2时,有 0. f (x) =-x2+x+2a=- + +2a, f (x)在区间 上单调递减,只需f 0即可.由f = +2a0, 解得a- ,所以,a的取值范围是a- . (2)由(1)知f (x)=-x2+x+2a,令f (x)=0,得x1= ,x2= ,所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单,调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2). 又f(4)-f(1)=
8、- +6a0,即f(4)f(1). 所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a- =- ,得a=1,所以x2=2,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)= .,1.利用导数研究函数的极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域. (2)求f (x). (3)若求极值,则先求方程f (x)=0的全部实根,再检验f (x)在方程根的左右侧值的符号,求出极 值.(当根中有参数时要注意讨论根是否在定义域内) 若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f (x)=0的根的大小或存在情况,从而求解. 2.求连续函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极
9、值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个 是最小值. 3.已知函数极值的条件,逆向求参问题的转化方法: (1)若x0为y=f(x)的极值点,则f (x0)=0.(注意检验) (2)若y=f(x)在区间m,n上存在极值点x1,x2,xn方程f (x)=0存在根x1,x2,xn.(注意适用范围),方法2 利用导数研究函数的极值和最值,例2 (2013福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(aR). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 解析 函数
10、f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1- . (1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f (x)=1- (x0), 因而f(1)=1, f (1)=-1, 所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)由f (x)=1- = ,x0知: 当a0时, f (x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值; 当a0时,由f (x)=0,解得x=a. 又当x(0,a)时, f (x)0, 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值;当
11、a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.,2-1 (2015山东,21,14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR. (1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)若x0, f(x)0成立,求a的取值范围. 解析 (1)由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+), f (x)= +a(2x-1)= . 令g(x)=2ax2+ax-a+1,x(-1,+). 当a=0时,g(x)=1, 此时f (x)0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点. 当a0时,=a2-8a(1-a)=a(9a-8). a.当0 时,0, 设方程2ax2+a
12、x-a+1=0的两根为x1,x2(x1x2),因为x1+x2=- ,所以x1- . 由g(-1)=10,可得-10, f (x)0,函数f(x)单调递增; 当x(x1,x2)时,g(x)0, f (x)0,函数f(x)单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a0, 由g(-1)=10,可得x10, f (x)0,函数f(x)单调递增; 当x(x2,+)时,g(x)0, f (x)0,函数f(x)单调递减. 所以函数有一个极值点. 综上所述,当a0时,函数f(x)有一个极值点; 当0a 时,函数f(x)无极值点;,当a 时,函数f(x)有两个极值点. (2)由(1)知, 当0a 时,函数f(x)在
13、(0,+)上单调递增, 因为f(0)=0,所以x(0,+)时, f(x)0,符合题意. 当 0,符合题意. 当a1时,由g(0)0. 所以x(0,x2)时,函数f(x)单调递减. 因为f(0)=0,所以x(0,x2)时, f(x)0, 所以h(x)在(0,+)上单调递增.,因此当x(0,+)时,h(x)h(0)=0,即ln(x+1)1- 时,ax2+(1-a)x0, 此时f(x)0,不合题意. 综上所述,a的取值范围是0,1.,导数作为一种研究数学知识的工具,在求单调性、最值、切线等方面发挥着独特的作用.巧 妙地构造函数,通过研究函数的单调性能解决一些不等式的证明和函数零点问题. 利用导数证明
14、不等式的方法: (1)作差,构造函数(x); (2)利用导数求函数(x)的单调区间; (3)判断定义域内(x)与0的大小关系,证明不等式. 利用导数研究函数零点的方法: 方法一:(1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)根据函数f(x)的性质作出其图象; (3)判断函数零点的个数. 方法二:(1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)分类讨论,判断函数零点的个数. 例3 (2013课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).,方法3 利用导数研究函数零点、证明不等式,(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m2时,证明f(x)0. 解
15、析 (1)f (x) =ex- . 由x=0是f(x)的极值点得f (0)=0,所以m=1. 于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+), f (x)=ex- . 函数f (x)=ex- 在(-1,+)上单调递增,且f (0)=0, 因此当x(-1,0)时, f (x)0. 所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增. (2)当m2,x(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)0. 当m=2时,函数f (x)=ex- 在(-2,+)上单调递增. 又f (-1)0,故f (x)=0在(-2,+)上有唯一实根x0,且x0(-1,0). 当x(-2,x0)时, f (x)0, 从而当x=x0时, f(x)取得最小值.,由f (x0)=0得 = ,ln(x0+2)=-x0,故f(x)f(x0)= +x0= 0. 综上,当m2时, f(x)0. 3-1 设函数f(x)=(x2+ax)e-x(aR,e为自然对数的底数). (1)求证:f(x)在R上不是单调函数; (2)若f(x)=2在(0,1)内有解,求a的取值范围. 解析 (1)证明:f (x)=-x2+(a-2)x-ae-x, 若f (x)0恒成立,则x2+(a-2)x-a0恒成立, 因为=(a-2)2+4a=a2+40,所以x
