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1、知识点一 相似三角形与比例线段,(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. (2)推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.,1.平行线等分线段定理,2.平行线分线段成比例定理,(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.,3.相似三角形,(1)相似三角形的判定 判定定理 定理1：两角对应相等，两三角形相似. 定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 定理3：三边
2、对应成比例，两三角形相似.,引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. (3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.,(1)利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，
3、从而得到最终的结果.如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_.,一个方法：平行截割定理的应用.,两种技巧：直角三角形射影定理应用技巧.,(2)将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.作垂线构造直角三角形.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，AD4，AC5.则BC_.,知识点二 直线与圆的位置关系,1.圆周角定理与圆心角定理,(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.
4、 (2)圆心角定理 定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.,2.圆的切线,(1)切线的性质及判定 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. (3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.,3.圆内接四边形的性质与判定,(1)性质定理 定理1：圆的内接四边形的对角互补. 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2
5、)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.,4.与圆有关的成比例线段,五种方法：与圆有关的辅助线的作法.,(3)有弦，作弦心距.有直径，作直径所对的圆周角.有切点，作过切点的半 径.两圆相交，作公共弦.两圆相切，作公切线如图， ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为_.,解析 连接CP.由推论2知CPA90， 即CPAB，由射影定理知， AC2APAB.AP3.6， BPABAP6.4.,答案 6.4,一个切入点：与圆有关的问题中，圆心、弦的中点，直径
6、等 是解题中首先要考虑的量，往往成为解题的突破口.,(4)如图AB，AC是O的两条切线，切点分别为，B，C，D是优弧上的点，已知BAC80，那么BDC_.,答案 50,(1)相似三角形的判定 已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2； 已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3； 判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定. (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例，角相等；也可间接证明线段相等.,相似三角形的判定与性质突破方略,点评 判定两个三角形相似的几种方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对
7、应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义.,(1)与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方法： 利用相似三角形； 利用切割线定理、相交弦定理； 利用角平分线定理. (2)判定圆的切线的方法以及切线定理的应用 判定切线通常有三种方法：()和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；()到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；()过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.,与圆有关的定理的应用求解策略,【例2】 如图，AB是O的直径，C，F
8、为O上的点，AC是BAF的平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB，垂足为点M.,K,(1)求证：DC是O的切线； (2)求证：AMMBDFDA.,证明 (1)如图，连接OC， OAOC，OCAOAC. 又AC是BAF的平分线， DACOAC. DACOCA.ADOC. 又CDAD，OCCD， 即DC是O的切线.,(2)AC是BAF的平分线， CDACMA90，ACAC， ACDACM，CDCM. 由(1)知DC2DFDA， 连接BC，在RtABC中，CMAB， CM2AMMB， AMMBDFDA.k,点评 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似
9、，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.,证明四点共圆方法,四点共圆问题解题方略,(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆. (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆. (5)相交弦定理的逆定理. (6)割线定理的逆定理.,【例3】 (2
10、016豫南九校3月模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F.,(1)证明：A，E，F，M四点共圆； (2)若MF4BF4，求线段BC的长.,(1)证明 连接AM.由AB为直径可知AMB90， 又因为CDAB， 所以AEF90， 所以AMFAEF180， 因此A，E，F，M四点共圆.,(2)解 连接AC，由A，E，F，M四点共圆， 知BFBMBEBA. 在RtABC中，BC2BEBA. 又由MF4BF4知BF1，BM5， 所以BC25，BC.,点评 以圆为载体与三角形、四边形相结合的综合性题目，往往要综合运用多个定理以及添加相应的辅助线才能解决，在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧.,与圆有关的证明与计算问题,【示例】 (2013新课标全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.,(1)证明 如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECBE，故CBEBCE，所以BECE. 又因为DBBE，所以DE为圆的直径， DCE90. 由勾股定理可得DBDC.,
