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1、第五节 抛物线及其性质,知识点一 抛物线的定义与方程,1.抛物线的定义,(1)平面内与一个定点F(点F不在直线l上)和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. (2)满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 在平面内； 动点到定点F距离与到定直线l的距离相等； 定点不在定直线上.,2.抛物线的方程,在抛物线中，记焦点F到准线l的距离为p，以抛物线的焦点F到准线l垂线段的中点为坐标原点，以抛物线的轴所在直线为坐标轴建立坐标系，可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y22px，x22py，其中p0.,一个易错点：忽略定义中的限制条件致误.,(1)抛物线
2、的定义中要求定点在定直线外，利用抛物线的定义求解时要注意判断若动点P到定点F(1，1)的距离与它到直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹方程为_.,答案 x3y20,(2)一个做题技巧：把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知识求解已知P为抛物线y24x上一个动点，直线l1：x1，l2：xy30，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( ),答案 A,知识点二 抛物线的几何性质,两个易错点：不把抛物线方程标准化；忽略p的符号.,(3)把抛物线方程化成标准方程y2mx或x2ny的形式再进行相关求解若抛物线ya
3、x2的准线方程是y2，则a的值为_.,(4)参数p表示抛物线的焦点到准线的距离，值大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p0的错误抛物线x22py0的焦点到顶点的距离为1，则抛物线标准方程为_.,解析 焦点到准线的距离p212，则标准方程为：x24y.,答案 x24y,(5)六个常见结论：直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图.,答案 2,(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法. (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开
4、口方向)，又要定量(即确定参数p的值).解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解. (3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用.,【例1】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.,点评 如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.,抛物线的几何性质求解方略,(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数
5、形结合的思想. (2)涉及抛物线的切线问题，要考虑应用导数来解决，这是不同于椭圆和双曲线的一点.,点评 根据题意画出图形，利用抛物线的定义及性质结合平面几何知识求解.,直线与抛物线位置关系解题方略,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.,【例3
6、】 已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P与y轴的距离的差等于1.,点评 1.设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0. (1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点； 当0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当0时，直线与抛物线没有公共点. (2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行.,2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.,弦的中点问题求解策略,【示例】 (2014银川质量检测)已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_.,答案 xy10,方法点评 弦中点问题的解决方法 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意，使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.,(2)用“点差法”求解步骤,
