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1、10.2 双曲线及其性质,高考理数,1.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上: - =1(a0,b0); 焦点在y轴上: - =1(a0,b0). (2)统一方程:Ax2+By2=1(AB0).,知识清单,【知识拓展】 1.离心率e= = = ,e越大,双曲线的张口越大,e(1,+). 2.双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为 - =0. 双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为 - =0. 3.焦点PF1F2,F1PF2=,PF1F2=,PF2F1=, (1)PF1F2的面积 =c|yP|=b2 =b2 . (2)由 = = ,得 = ,即e= = .,双曲线定义的应用主要有以下
2、两个方面:一是利用定义求双曲线的标准方程;二是利用定义 与正弦、余弦定理,均值不等式相结合,解决焦点三角形,离心率等问题.高考中常以客观题形式 出现. 例1 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF2|=2|PF2|,则cosF1PF2= ( ) A. B. C. D. 解析 a=b= ,c=2. 由 得|PF1|=4 ,|PF2|=2 ,由余弦定理得cosF1PF2= = .故选C. 答案 C 1-1 (2015陕西西安八校二联)已知点P是双曲线 - =1的右支上一动点,M,N分别是圆(x+5)2+ y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,则|PM|-|PN
3、|的最大值为 .,突破方法,方法1 双曲线定义的应用,答案 9 解析 注意到两圆的圆心恰好是双曲线的两个焦点,设双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,则(|PM|-| PN|)max=|PM|max-|PN|min=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2+1=9.,求双曲线标准方程的基本步骤: 例2 (2014天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲 线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ( ),方法2 双曲线的标准方程,A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 解析 由题意可知,双曲线
4、的其中一条渐近线y= x与直线y=2x+10平行,所以 =2,且左焦点为(- 5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为 - =1,故选A. 答案 A,双曲线的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等.常考内容是离心率、渐 近线等问题,解决此类问题的关键在于构造含有a、b、c的等式或不等式. 求双曲线离心率或其范围的方法: (1)求a,b,c的值,由e2= = =1+ 直接求e. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等 式)求解. 例3 设双曲线 - =1(ba0)的半焦距为c
5、,直线l经过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离 为 c,则双曲线的离心率为 . 解析 直线l的方程为 + =1,即bx+ay-ab=0. 由原点到直线l的距离d= = c,得3c4=16a2b2=16a2(c2-a2),即3c4-16c2a2+16a4=0,有3e4-16e2+ 16=0,解之得e2=4或e2= .,方法3 双曲线的几何性质,ba0,b2a2,即c2-a2a2,e22. e2=4,e=2. 答案 2 3-1 设F1,F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左,右焦点,P为双曲线上一点,若|PF1|=2|PF2|,则双曲 线的离心率e的取值范围是 . 答案 (1,3 解析 |PF1|=2|PF2|,P点在双曲线的右支上. 又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a, |PF1|=4a,|PF2|=2a, |PF1|+|PF2|2c,6a2c,即 3. e1,1e3.故填(1,3.,
