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1、函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线y(3k)x2(k2)x2k1(k3)过定点，并求出定点的坐标归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函
2、数的图像总过的点是（ ） A. （1，3）B. （1，0） C. （1，3）D. （1，0）巩固练习：1无论m为何实数，二次函数y=x2（2m）x+m的图象总是过定点 （）A（1，3）B（1，0）C（1，3）D（1，0）2对于关于x的二次函数y=ax2（2a1）x1（a0），下列说法正确的有（）无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点； 无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；当a0时，函数在x1时，y随x的增大而减小；当a0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2A1个B2个C3个D4个3.（2012鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx22mx+3（m0）的图象发
3、现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_ 4某数学小组研究二次函救y=mx23mx+2（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点请你写出这两个定点的坐标：_ 5（2009宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足bc=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_ 6无论m为何实数，二次函数y=x2（2m）x+m的图象总是过定点_7已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x0时，函数值y随
4、自变量x的增大而增大试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_ 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx26x1（m是常数）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值10已知二次函数的顶点坐标为（，），与y轴的交点为（0，nm），其顶点恰好在直线y=x+（1m）上（其中m、n为正数）（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由函数
5、图像过定点的研究题1：求证拋物线y(3k)x2(k2)x2k1(k3)过定点，并求出定点的坐标审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线ykxb(k0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线yax2bxc(a0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标解：整理抛物线的解析式，得y(3k)x2(k2)x2k13x22x1kx2kx2k3x22x1k(x2 x2)
6、(k3)，上式中令x2x20，得x11，x22.将它们分别代入y3x22x1k(x2x2)，解得y14，y27，把点(1，4)、(2，7)分别代入y3x22x1k(x2x2)，无论k取何值，等式总成立，即点(1，4)、(2，7)总在抛物线y(3k)x2(k2)x2k1(k3)上，即拋物线y(3k)x2(k2)x2k1(k3)过定点(1，4)、(2，7)归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到
7、x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（ ） A. （1，3）B. （1，0） C. （1，3）D. （1，0）解法一、特殊值法 依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。 解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。 则函数解析式变为： 。
8、联立方程组 解得 把中，无论m为何值，等式总成立。 所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。 故应选A。解法二、变换主元法 依据：一元一次方程的解有三种情形： （1）当a0时，方程有惟一解：； （2）当a=b=0时，方程的解为全体实数； （3）当a=0，b0时，方程无解。 这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y的代数式）中，a=b=0时的情形。 解：将其二次函数整理变形为： 令 所以，无论m为何值时，（1，3）恒满足式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。 故应选A。巩固练习：1无论m为何实数，二次函数y=x2（2m）x+m的图象总是过定
9、点（）A（1，3）B（1，0）C（1，3）D（1，0）2对于关于x的二次函数y=ax2（2a1）x1（a0），下列说法正确的有（）无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点； 无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；当a0时，函数在x1时，y随x的增大而减小； 当a0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2A1个B2个C3个D4个3.（2012鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx22mx+3（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_4某数学小组研究二次函救y=mx23mx+
10、2（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点请你写出这两个定点的坐标：_5（2009宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足bc=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_6无论m为何实数，二次函数y=x2（2m）x+m的图象总是过定点_7已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x0时，函数值y随自变量x的增大而增大试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出 该定点坐标9. 已知函数y=mx26x1（
11、m是常数）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值解：当x=0时，所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）当时，函数的图象与轴只有一个交点；当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以， 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或911已知二次函数的10.顶点坐标为（，），与y轴的交点为（0，nm），其顶点恰好在直线y=x+（1m）上（其中m、n为正数）（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有
12、这样的点；若不存在，请说明理由分析：（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+（1m）得+（1m）=，整理后利用因式分解得到（mn）（m+1）=0，则m=n或m=1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（，），与y轴的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）（1）证明：把（，）代入y=x+（1m）得+（1m）=，整理得m2mn+mn=0，（mn）（m+1）=0，m=n
13、或m=1（舍去），二次函数的顶点坐标为（，），与y轴的交点为（0，0），m为正数，二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，抛物线开口向上，此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）解：存在抛物线的对称轴为直线x=，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（1，0）和（0，0）反思：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点
