《线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算.ppt（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词.1855年以后,英国数学家凯莱创立了矩阵理论,至二十世纪,矩阵论已成为一个独立的数学分支,出现了矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等矩阵的现代理论.由于许多线性或非线性问题都可以转化为对矩阵的讨论,所以它在物理、化学、经济、工程以及现代科技的许多领域都有着广泛的应用,矩阵部分主要讨论三个问题,第二部分 矩阵理论,一 矩阵的概念及四则运算,三 逆矩阵,二 矩阵的初等变换与矩阵的秩,由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵,一 矩阵的定义：,Amn=,记作,只能用 或( ),
2、不能用 ,第四讲 矩阵的概念及其运算,1 零矩阵,一 部分特殊矩阵,所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O,例如,若矩阵A的行数与列数都等于n， 则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵,2 方阵,例如,也可以用小写黑体字母,3 行矩阵与列矩阵：,只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵,例如,表示,4 对角矩阵：,如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵,记为 =diag(a11, a22, , ann),例如,数量矩阵是特殊的对角矩阵a11=a22=ann,如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵,5 数量矩阵,例如,如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 I 或E,6 单位矩阵：,单位矩阵是特殊的数
3、量矩阵：a11=a22=ann=a=1,例如,如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵,7 三角形矩阵：,如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角形矩阵,例如,如果n阶矩阵A满足 AT=A ( 即 aij=aji ) ,则称A为对称矩阵,8 对称矩阵：,二 矩阵的运算,(三) 矩阵的转置,(四) 方阵的行列式,(一) 矩阵的加法,减法,(二) 矩阵的乘法,(五) 几种特殊矩阵,(一) 矩阵的加法,减法,（1）同型矩阵:,（2）同型矩阵才能相加减,二矩阵行相同，列相同,例,为同型矩阵,不同型,（3）加法与减法法则:,同型矩阵对应元素相加减,矩阵加法和减法定义:,AB=,设A与B为两个mn矩阵,例1 设,
4、求A+B=?,解,1+5,2+6,3+7,4+8,6,8,10,12,给定矩阵,规定,kA=,(二)矩阵的数乘,实数k遍乘A的所有元素,准备：矩阵乘积有意义的条件,不是任意二矩阵乘积AB都有意义,（2） 二矩阵乘积AB有意义的条件是： 左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等,即,s=t,且,Ams Bsn=,Cmn,（三） 矩阵的乘法,例,则AB无意义,则 CD有意义，且CD是23的矩阵,设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵,AB=,矩阵的乘法定义,cij,(i1, 2, , m；j1, 2, , n),其中,ai1b1jai2b2j aisbsj,cij = A 的第 i 行与 B 的第
5、 j 列的乘积,解：,-6,-7,8,33,-6,-7,8,-3,0,-3,33,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,33,解：,4,-9,8,3,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,22,注意一:,矩阵乘法一般不满足交换律,即 ABBA,例2 设,A= ，,B= ，求AB及BA,解,3,1,1,0,3,1,1,0,如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换,显然AB=BA,可交换阵:,例3 设,A= ，,4,-2,-2,1,B= ，求AB及BA,4,2,-6,-3,解：,-32,-16,16,8,0,0,0,0,22,22,注意二:,例4 设,A= ，,5,0,0
6、,0,求A2,解,0,0,0,0,22,注意三:,矩阵乘法一般不满足消去律,例5 设 A=,2 0 3,B=,0 0 4,C=,1 0 0,求AC=? BC=?,解,1,1,0,0,1,1,0,0,注意四:,例6 线性方程组可用矩阵乘法表示,系数阵,例如:,=,(1) ABBA,(3) AB=O,A=O或B=O,(2) AC=BC,A=B,矩阵乘法总结:,矩阵乘法性质除下列几条外 其余和数乘法性质相同,(4) A2=O,A=O,乘法一般不满足交换律,乘法一般不满足消去律, 如果C可逆,则A=B,例7 设矩阵A,B均为n阶方阵, 证明,证明,(1),(2),(3),(1),4 方阵的幂：,对于方
7、阵A及自然数k 记 Ak=AA A (k个A相乘),只有方阵才能自乘,规定,性质：,(1) ArAs=Ar+s,(2) (Ar)s=Ars,注:,一般 (AB)kAkBk,但 如果AB=BA,则 (AB)k=AkBk,例8 设,求 (1),(2),(3),解,n个,如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 In 或 I,单位矩阵性质,对于n阶矩阵A，规定 A0=I,ImAmn,=Amn,=1Amn,AmnIn,=Amn,=1Amn,单位阵与任意矩阵相乘(只要有意义)结果不变,练习：,1,计算下列矩阵：,解：(1),2 计算,AB=,11,14+25+36,= 32 =32,AB=,11,31+22
8、+1(-2)+04,= 5 =5,3,将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT或A ,a11 a12 a1n,a21 a22 a2n,am1 am2 amn, ,AT =,（四） 矩阵的转置,第1行变为第1列， 第2行变为第2列, 第m行变为第m列,(4) (AB)T = BTAT,(A1A2A3.An)T =(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T,转置矩阵有下列性质,(1) (AT)T= A,(2) (A+B)T= AT+BT,(3) (kA)T= kAT,注意矩阵的次序,例1,A=,5 -3 -1 9 3,B=,(AB)T=,=,BTAT,则,如果n阶
9、矩阵A满足 AT=A ( 即 aij=aji ) ,则称A为对称矩阵,对称矩阵性质,(1) kA为对称阵,性质 设A,B为对称阵,则,(2) A+B 与 A-B 为对称阵,注AB未必是对称阵,不是对称矩阵,AB=,例2 设A与B是两个n阶对称矩阵 证明：AB 对称 AB=BA,证明,(1) 充分性,所以 AB 对称,(2) 必要性,例3 设A为对称矩阵,且A2=0 证明 A=0,证明,设,A2=AAT=,=0, ,所以 A=0,注意乘积对角线上元素,n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式,记为|A|或detA,|A|=,detA =,|A|=detA=,= -2,（
10、五） 方阵的行列式,方阵的行列式具有的运算律：,(1) |AB| =|A|B|,显然,k个A,= |A| k,方阵积的行列式=行列式的积,(2) | lA|ln |A|,n为方阵的阶数,例1,则,| lA|=,=l3,l3 |A|,例2,(1)设矩阵A为八阶矩阵,l8 |A|,(2)设矩阵A为十阶矩阵,|lA| ,l10 |A|,|lA| ,例3 设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=-2,求|A|A|,解：,|A|A|=,=(-2)3|A|,=(-2)3(-2),=16,|-2A|,提问： 设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA|=? 答：-m4,(3) |AT|A|,例4 设 A
11、=,2 5 4,-4 -5 3,1 3 4,B=,C=,求 (1) |ATB2C|,解,(1) | ATB2C|=,| AT | . | B2 |. | C | =,| A | . | B | 2 . | C | =,=212 5=10,=|3 BBT | 2,= (32| BBT |)2,= (32 | B |.|BT |)2,=81,(2) | (3BBT)2|,(2) | (3BBT)2|,(1) ABBA,(3) AB=O,A=O或B=O,(2) AC=BC,A=B,总结:,一 矩阵乘法,二 矩阵转置,(A1A2A3.An)T=(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T,三 方阵行列式,| lA|ln |A|,(4) A2=O,A=O,练习：1 设f(x)=ax2+bx+c，A为n阶矩阵，I为n阶单位矩阵,定义f(A)=aA2+bA+cI,已知f(x)=x2-x-1，A= ，求f(A),f(A)=,解：,2 设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且,证明,证明,由 B2=B 得,
