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1、几个实变函数习题 December 1, 2011 1.只有孤立点的集和没有聚点的集是否相同? 答.若E没有聚点,则特别地,对任何x E, x不是E的聚点,从而存 在 0,使得B(x,) E = x.故E中的点都是E的孤立点.这说明没有 聚点的集一定只有孤立点.反之,只有孤立点的集是可以有聚点的.例 如E = 1 n : n N+. E中的点都是E的孤立点,但E有聚点0. 2.试做下列类型的点集. (1)点集E,使E E0. 解.令E = (0,1),则E0= 0,1 E. (2)点集E,使E E. 解.令E = Q,则E = R E. (3)点集E,使得(E0)0, ,而(E0)0)0= .
2、 解.令E = 1 n + 1 m : n,m N+.则E0= 0,1, 1 2, 1 3,., 1 n,., (E 0)0 = 0, (E0)0)0= . (4)点集E,既非开集又非闭集. 解.令E = (0,1,则E既非开集又非闭集. 3.设E是Cantor三分集的余集G0的构成区间的中点所组成的集,试 求E0. 解.注意到余集的每个构成区间只含有E中1个点,从而E0 G0= ,故E0 C.另一方面,对任何x C = C0,存在C中互异点列xn,使 得xn x(n ).对任何正整数n,在由xn, xn+1构成的闭区间中必包 含G0的一个构成区间,从而包含该构成区间的中点,设这个中点为yn.
3、显 1 然yn x(n ).这意味着x E0.从而C E0.最后得E0= C. 4.设G1,G2是Rn中的互不相交的开集,试证G1G2= . 证一.设x G1,则存在 0,使得B(x,) G1.根据G1 G2= 得 到B(x,) G2= .故x 0,使得 f(x) x x0 , 0,x (x0 , x0) (x0, x0+ ), 即 f(x) , 0,x (x0 , x0) (x0, x0+ ). 从而 (x0 , x0+ ) E = x0. 故x0为E的孤立点. 7.证明:内域E是含于E的一切开集的并,也是含于E的最大开集; 闭包E是包含E的一切闭集的交,也是包含E的最小闭集. 2 证.要证
4、明 E= GE,G开 G,E = FE,F闭 F. 令 A = GE,G开 G, B = FE,F闭 F. 若x A,则存在开集G E使得x G,从而x E.故A E.若x E, 则存在 0使得B(x,) E.注意到B(x,)为包含x的开集,故x A.这说 明E A.从而E= A.由A的表达式可知是含于E的一切开集的并,也是 含于E的最大开集. 对任何闭集F E有F E,故B E.另一方面,若x 0, 使B(x,) E = ,故E B(x,).注意到B(x,)为包含E的闭集.由此可 知x 0, B(x,) E , , B(x,) Ec, x E Ec. 从而E = E Ec. 若E为闭集,则E
5、 = E = E E. 若E = E E,则显然有E E. 若E E,则对任何x E0, x E或x E,从而x E.即E0 E, E为 闭集. 以上说明: E为闭集 E = E E E E. 若E为开集,则对任何x E,存在 0,使得B(x,) E,故x 0使得B(x,) Ec= .故B(x,) E.从而E为开集. 3 以上说明: E为开集 E E = . 9.在Rn中只有和Rn是既开又闭的点集. 证.如果存在E Rn, E , , E , Rn,使得E为既开又闭的集合,令 f(x) = 1,x E, 2,x Rn E. 则f为Rn上连续函数,然而它的值域f(Rn) = 1,2不是一个区间.
6、矛盾! 10.如果E Rn, E , , E , Rn,则E , . 证 若E = ,则由第8题可知E Ec= ,故E E.所以E为闭集.同 理Ec为闭集,故E是既开又闭的点集.根据第9题, E = 或E = Rn.从而 若E , , E , Rn,则E , . 11.设A, B是任意互不相交的闭集,证明必有开集G1,G2使G1 A,G2 B,且G1G2= . 证 令G1= x : d(x,A) 0,x A, d(x, B) = 0,d(x,A) 0,x B. 从而取上题解答中的开集G1,G2即满足要求.上题是本题的特例. 13.证明: Rn中的子集E为闭集的充分必要条件是,对任意x0 Rn,
7、 存在y0 E,使得 |x0 y0| = d(x0,E). 证. =设E为闭集.根据点到集合的距离的定义,对任何正整数k, 存在yk E,使得 d(x0,E) 6 |x0 yk| 0.因此mB = mA+m(BA) mA. 16.设E 0,1为可测集.若mE = 1,则E = 0,1;若mE = 0,则E= . 证.注意到简单的事实1 = mE 6 mE 6 1,从而mE = 1.因此m(0,1 E) = 0.再由m(0,1) E) = m(0,1 E) = 0知(0,1) E = ,即(0,1) E, 故0,1 E 0,1.最后得E = 0,1. 若mE = 0,则显然E无内点,因此E= .
8、 17.设Ek为Rn中的集列,满足 P k=1 mEk 1, 5 根据上限集的定义和次可加性,得到 m ? lim k Ek ? = m i=1 k=i Ek 6 m k=i Ek 6 X k=i mEk. 令i ,即得到m ? lim k Ek ? = 0.再由lim k Ek lim k Ek得到m lim k Ek ! = 0. 18. (1)设Ek是区间0,1中的可测集列, mEk= 1(k = 1,2,.).试 证m( T k=1 Ek) = 1. (2)若Ek 0,1, mEk n1 n (k = 1,2,.,n).试证m( n T k=1 Ek) 0. (3)若Ek 0,1,1
9、mEk k 0(k = 1,2,.).试问k要满足什么条 件能使m( T k=1 Ek) 0?又若要使m( T k=1 Ek) 1 (是一个充分小的正数). k应该如何? 解. (1)注意到m(0,1 Ek) = 1 mEk= 0(k = 1,2,.,).从而 m 0,1 k=1 Ek = m k=1 0,1 Ek 6 X k=1 m(0,1 Ek) = 0. 故m T k=1 Ek ! = 1 m 0,1 T k=1 Ek ! = 1. (2)注意到m(0,1 Ek) = 1 mEk 0. (3)由以上分析可知,若k满足 P k=1(1 k) 6 1,就有m( T k=1 Ek) 0. 若k
10、满足 P k=1(1 k) 6 ,就有m( T k=1 Ek) 1 . 19.试证下列(1)和(2)都是点集E可测的充分必要条件. (1)对任意 0,存在开集G和闭集F,使得F E G且m(G F) 0,存在开集G1,G2: G1 E,G2 Ec,使得m(G1G2) 0,存在开集G和闭集F,使得G E F, m(GE) 1,根据题设条件,存在开集Gk E,闭集Fk E,使得m(Gk Fk) 0,根据f在a,b上的一致连续性,存 在 0,使对任意x0, x00 a,b,只要|x0 x00| 0,则f(0) = 0,存在充分大的R 0使 得f(R) = mE,从而f(0) 6 6 f(R).下证f
11、在0,R上连续.事实上,对任 意r1,r2 0,R, r1 m(lim k Ek). 证.先证:对任何E Rn,存在可测集G,使得mE = mG. mE = 的 情形是平凡的(取G = Rn即可),故可设mE m(lim k Ek). 事实上,对任意正整数k,取可测集Gk Ek,使得mGk= mEk.从而 m lim k Ek ! 6 m lim k Gk ! = m lim i k=i Gk = lim i m k=i Gk 6 lim i inf ki mGk = lim i inf ki mEk = sup i1 inf ki mEk = lim k mEk. 23.对于任意点集A, B
12、 Rn,定义它们的距离为 d(A, B) = infd(x,y) : x A,y B. 设d(A, B) 0,证明: m(A B) = mA + mB. 证.令G = x Rn: d(x,A) 0,根据外 测度的定义,存在E的L覆盖Ik,使得 X k=1 |Ik| a) = E1 E(f a).故E1(f a)可测,从而f在E1上可测. 27.证明:若函数f在E1,E2 Rn上可测,又若f分别作为E1与E2上的 函数,在x E1 E2上相同,则f在E1 E2, E1 E2, E1 E2上可测. 证. E1 E2, E1 E2为E1的可测子集,根据上题, f在这两个集合上可 测.令E = E1
13、E2,则对任意a R, E(f a) = (E1 E2)(f a) (E2 E1)(f a) (E1 E2)(f a), 10 故E(f a)可测,从而f在E = E1 E2上可测. 28.若每个fk(x)(k = 1,2,)在可测集E Rn上几乎处处连续(间断 点构成零测集),f(x) = lim k fk(x)在E上几乎处处有意义,证明f在E上可测. 证.只需证明每个fk在E上可测即可.事实上,设fk的连续点集为Ek, 则m(E Ek) = 0.对任意a R,根据定理1.25,存在开集Ga,k,使得Ek(f a) = Ga,k Ek,故Ek(fk a)可测.再由x E Ek: fk(x) a为零测集知 E(fk a) = Ek(fk a) x E Ek: fk(x) a 可测,即fk在E上可测. 29.若f为集E上的可测函数,证明对任意实数a, E(f = a)为可测集. 反过来,若对任意实数a, E(f = a)可测,能否断言函数f可测?又若知f只 取可数个不同的值, f可测吗?证明或举出反例. 证.注意对任何实数a a) E(f b)可测. 从而对任意实数a, E(f = a) = k=1 E a 1 k 0) = E0不可测). 如果f只取可数个不同的值,且对任意实数a, E(f = a)可测,则f在E上 必可测.事实上,如果A = f(E)为可数集,则易知
