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1、1.1.2 余弦定理.知识归纳 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的2倍，即： 2.理解定理：从余弦定理的三个等式中，可得到它的变形，即余弦定理的推论： 由余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；由此可知，余弦定理可以看作勾股定理的推广。余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。在一个三角形中，如果知道了两边及其夹角的值，由余弦定理就可以求出第
2、三边。余弦定理的每一个等式中包含四个不同的量，他们分别是三角形的三边和一个角，知道其中三个量，便可求得第四个量。由余弦定理的结构可知，应用余弦定理，我们可以利用已知的两边和夹角，计算出三角形的第三边，在结合三角形的正弦定理及内角和定理，可求出其他的角，即已知两边和他们的夹角，可求第三边和其他两个角。由余弦定理的推论可知，利用三角形的三边可以计算出三角形的三个角。余弦定理的推导应牢牢抓住勾股定理：，并依此为思考线索得出结论。（推导过程见课本）重难点知识讲解1余弦定理证明的其他方法(1)用坐标法证明余弦定理如图：以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)、B(c，0)、C(bc
3、osA，bsinA)，由两点间距离公式得BC2b2cos2A2bccosAc2b2sin2A，即a2b2c22bccosA同理可证：b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC(2)用勾股定理证明余弦定理当三角形为锐角三角形时，如图，ADbsinC，BDBCCDabcosC在RtABD中，根据勾股定理AB2AD2BD2,所以c2(bsinC) 2(abcosC) 2整理得c2a2b22abcosC.当三角形为钝角三角形时，如图ADbsinC，BDCDBCbcosCa，在RtABD中，根据勾股定理，有AB2AD2BD2，即c2(bsinC) 2(bcosCa) 2，整理得c2a2b22
4、abcosC同理可证：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB2余弦定理与勾股定理之间的联系(1)对于余弦定理c2a2b22abcosC中，若C90，则c2a2b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛特别提示：在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中
5、涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件3解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边(3)已知两边和它们的夹角，解三角形
6、 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角 (4)已知三角形的三边，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角 要解三角形，必须已知三角形的一边的长若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.例题分析题型一 余弦定理的简单运用例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos= 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又 ，即 评述：解法二应注意确定A的取值范围。题型二 余弦定理的综合运用例2. 解：，即
7、题型三 正、余弦定理的综合应用例3如图，在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个内角A、B、C、D的度数之比为3 ：7 ：4 ：10，求AB的长 【点拨】由题目可获取以下主要信息： BCa，DC2a； 四个内角A、B、C、D度数之比为3：7：4：10 解答本题可先由四个内角之比及四边形内角和为360得到四个内角的大小，在BCD中用余弦定理求BD，再在ABD中用正弦定理求AB 【解析】设四个内角A、B、C、D的大小为3x、7x、10x、10x(x0)， 由四边形内角和为360可得， 3x7x4x10x360，x15， 即A45，B105，C60，D150 连接BD，在BCD中，由余弦定理得，
8、BD2a2(2a) 22a2acos603a2， BDa 此时，CD2BC2BD2，且BCCD， BCD为直角三角形，且BDC30， ADB15030120 在ABD中， ， ABa 【规律方法】在多边形的计算中需构造三角形解决，应恰当地将多边形分解为几个三角形，通过作辅助线转化为三角形中的问题，并根据给出条件选择余弦定理或正弦定理求解本题中求ADB的度数是关键，要善于挖掘隐含条件BC2BD2CD2也可通过余弦定理求出BDC的度数. 课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。练习:一、 选择题1在ABC中，则角为（） 在ABC中，已知，边上的中线，则sin的值为（） 在ABC中，若，并有sinAsinBcosC,那么ABC是（）直角三角形 等边三角形 等腰三角形等腰直角三角形二、填空题ABC中，ABC，则_5. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解答题6在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。7已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积参考答案1 234 56解由余弦定理,知7解如图，连结，则四边形面积ABD+BCD=A+C=1800sin= sin C=16 sin由余弦定理,知在ABC中，在CDB中,又120016sin5
