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1、,第五章 数 列,5.1 数列的概念与简单表示法,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,高频小考点,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 .,一定顺序,项,知识梳理,1,答案,2.数列的分类,有限,无限,答案,3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 . 4.数列的通项公式 如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,列表法,图象法,解析法,序号n,S1,SnSn1,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有数
2、列的第n项都能使用公式表达.( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( ) (3)1,1,1,1，不能构成一个数列.( ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (5)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.( ) (6)在数列an中，对于任意正整数m，n，amnamn1，若a11，则a22.( ),思考辨析,答案,B,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析 对于A，B，D选项，可令n1,2,3,4，逐一验证，可知不符合.对于选项C，,C,解析答案,1,2,3,4,5,3.设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为(
3、 ) A.15 B.16 C.49 D.64 解析 Snn2，a1S11. 当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1. 当n1时符合上式， an2n1，a828115.,A,解析答案,1,2,3,4,5,4.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.,5n4,解析答案,1,2,3,4,5,故a43a312，a54a448.,48,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,解析 注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.,C,由数列的前几项求数列的通项公式,题型一,解析答案,解析答案,思维升华,根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，
4、抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.,思维升华,根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)1,7，13,19，； 解 数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5).,跟踪训练1,解析答案,(2)0.8,0.88,0.888，；,解析答案,解 各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.,解析答案,例2 设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为
5、Tn，满足Tn2Snn2，nN*. (1)求a1的值； 解 令n1时，T12S11， T1S1a1，a12a11，a11.,由数列的前n项和求数列的通项公式,题型二,解析答案,(2)求数列an的通项公式.,解析答案,思维升华,解 n2时，Tn12Sn1(n1)2， 则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)2 2(SnSn1)2n12an2n1. 因为当n1时，a1S11也满足上式， 所以Sn2an2n1(n1)， 当n2时，Sn12an12(n1)1， 两式相减得an2an2an12， 所以an2an12(n2)，所以an22(an12)， 因为a1230，,解析答案,所以数列an2是以3为
6、首项，公比为2的等比数列. 所以an232n1，所以an32n12， 当n1时也成立， 所以an32n12.,思维升华,思维升华,A,跟踪训练2,解析答案,(2)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为 _. 解析 当n1时，a1S13122112； 当n2时， anSnSn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5，显然当n1时，不满足上式.,解析答案,例3 (1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_. 解析 由题意得，当n2时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),由数列的递推关系求通项公式,题型三,解析答案,(2)数列an中，a11，an13a
7、n2，则它的一个通项公式为an_.,解析答案,思维升华,解析 方法一 (累乘法) an13an2，即an113(an1)，,解析答案,即an123n1(n1)， 所以an23n11(n2)， 又a11也满足上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11. 方法二 (迭代法) an13an2， 即an113(an1)32(an11)33(an21) 3n(a11)23n(n1)，,所以an23n11(n2)， 又a11也满足上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11. 答案 23n11,思维升华,思维升华,跟踪训练3,解析答案,(2)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)
8、，则a5等于( ) A.16 B.16 C.31 D.32 解析 当n1时，S12a11，a11. 当n2时，Sn12an11， an2an2an1，an2an1. an是等比数列且a11，q2， 故a5a1q42416.,B,解析答案,B,数列的性质,题型四,解析答案,解析答案,周期T(n1)(n2)3.,解析答案,C,解析答案,思维升华,(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.,思维升华,跟踪训练4,解析答案,an为周期数列且T4，,D,解析答案,返回,高频小考点,典例
9、(1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 0145等于( ) A.2 0182 012 B.2 0202 013 C.1 0092 012 D.1 0102 013,高频小考点,4.数列中的新定义问题,思维点拨,思维点拨 观察图形，易得anan1n2(n2)可利用累加法求解.,解析答案,解析 因为anan1n2(n2)，a15， 所以a2 014(a2 014a2 013)(a2 013a2 012)(a2a1)a12 016 2 01545,所以a2 01451 0102 013，故选D.,答案 D,思
10、维点拨 由“减差数列”的定义，可得关于bn的不等式，把bn的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解.,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,解析 由数列b3，b4，b5，是“减差数列”，,解析答案,答案 C,温馨提醒,解决数列的新定义问题要做到： (1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆. (2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法.,温馨提醒,返回,思想方法 感悟提高,1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(1
11、)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.,方法与技巧,3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式. 4.数列的性质可利用函数思想进行研究.,1.数列anf(n)和函数yf(x)定义域不同，其单调性也有区别：yf(x)是增函数是anf(n)是递增数列的充分不必要条件. 2.数列的通项公式可能不存在，也可能有多个. 3.由anSnSn1求得的an是从n2开始的，要对n1时的情况进行验证.,失误与
12、防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,C,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.已知数列an满足a11，an1an2n，则a10等于( ) A.1 024 B.1 023 C.2 048 D.2 047 解析 an1an2n，anan12n1 (n2)， a10(a10a9)(a9a8)(a2a1)a129282121011 023.,B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,D,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
13、,14,15,4.若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，而数列an的前n项和数值最大时，n的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 an1an3， 数列an是以19为首项，3为公差的等差数列， an19(n1)(3)223n. a7222110，a8222420， n7时，数列an的前n项和最大.,B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.已知数列an的前n项和Snn22n1(nN*)，则an_. 解析 当n2时，anSnSn12n1， 当
14、n1时，a1S14211，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,7.数列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，则a7_. 解析 由已知an1anan2，a11，a22， 能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.,1,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an_. 解析 当n1时，S1a12a11，得a11， 当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)， 即an2an11，an12(an11)， 数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列， an122n12n，an2n1.,2n1,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
