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1、第2讲 函数的应用,专题二 函数与导数,高考真题体验,热点分类突破,高考押题精练,栏目索引,高考真题体验,1,2,3,4,A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4，),解析 由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数，,又f(1)6060，f(2)3120，,由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.,C,1,2,3,4,解析 作出函数yf(x)在3,4上的图象，,1,2,3,4,1,2,3,4,3.(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保
2、鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.,1,2,3,4,x33时，ye33kb(e11k)3eb,答案 24,1,2,3,4,4.(2014湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F .,1,2,3,4,(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；,当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.,1 900,1,2,3,4,(2)如果限定车型，l5，则最
3、大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.,当且仅当v10 米/秒时等号成立,此时车流量最大为2 000 辆/时. 比(1)中的最大车流量增加100 辆/时.,100,考情考向分析,1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现. 2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.,热点一 函数的零点,热点分类突破,1.零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)
4、0的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.,A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,10),f(2)f(3)0， 故f(x)的零点在区间(2,3)内.,C,(2)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零点依次为a，b，c，则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac,解析 由f(a)eaa0，得aea0； b是函数yln x和yx图象交点的横坐标， 画图可知0b1； 由h(x)ln c10知ce，所以abc.,A,思维升
5、华,函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.,跟踪演练1 (1)函数f(x)x22x在xR上的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,因此函数f(x)在(1,0)上必有零点，又f(2)f(4)0， 因此函数f(x)的零点个数是3，选D.,D,A.5 B.6 C.7 D.8,函数f(x)的周期为2，,则函数f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：,由
6、图形可知函数f(x)，g(x)在区间5,1上的交点为A，B，C， 易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t(0t1)， 则点A的横坐标为4t，,所以方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为3(4t)t7. 答案 C,热点二 函数的零点与参数的范围,解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.,A.(2,1) B.0,1 C.2,0) D.2,1),解析 解不等式x21(4x)1，得x2或x3，,函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点,答案 D,如图，所
7、以1k2，故2k1.,(2)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_.,解析 f(x)ex2，当x(，ln 2)时，f(x)0， 所以f(x)minf(ln 2)22ln 2a.,所以a2ln 22.,(，2ln 22,思维升华,(1)f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数； (2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域.,跟踪演练2 (1)若函数f(x)mlog2x(x1)存在零点，则实数m的取值范围是( ) A.(，0 B.0，) C.(，0) D.(0，),解析 mlog2x(x1)存在零点， 则m的范围即为函数ylog2
8、x(x1)的值域， m0.,A,(2)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.,解析 将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解. 由f(x)|2x2|b0， 得|2x2|b.,在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与 yb的图象，如图所示. 则当0b2时，两函数图象有两个交点， 从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.,答案 (0,2),热点三 函数的实际应用问题,解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什
9、么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.,(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； 解 当0x10时，,当x10时，,(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本),得x9，且当x(0,9)时，W0； 当x(9,10)时，W0， 当x9时，W取得最大值，,当x10时，,综合知：当x9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服
10、装的生产中所获得的年利润最大.,思维升华,(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.,跟踪演练3 (1)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元,解析 设该公司的年收入为x万元(x280)，,故该公司的年收入为320万元.,答案 D,
11、(2)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为_元. 解析 设每辆车的月租金为x(x3 000)元，,当x4 050时，y取最大值为307 050， 即当每辆车的月租金定为4 050元时， 租赁公司的月收益最大为307 050元. 答案 4 050,高考押题精练,1,2,3,4,1.f(x)2sin xx1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7,押题依据 函数的零点是高考的热
12、点，利用函数图象求零点个数是一种常用方法.,1,2,3,4,解析 令2sin xx10，则2sin xx1， 令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.,1,2,3,4,所以两个函数图象的交点一共有5个， 所以f(x)2sin xx1的零点个数为5. 答案 B,1,2,3,4,押题依据 利用函数零点个数求参数范围，很好地体现了数形结合思想，同时分段函数也是高考的重要考点.,1,2,3,4,由于函数g(x)f(x)m有3个零点， 结合图象得：0m1， 即m(0,1). 答案 (0,1),1,2,3,4,3.
13、已知函数f(x)5xx2，g(x)log5xx2的零点分别为x1，x2，则x1x2的值为_.,押题依据 函数的零点是高考必考查的知识点，已知两函数的解析式，求两函数零点的和或取值范围等，此类命题角度新颖，将成为高考命题的热点，应给予关注.,1,2,3,4,解析 令f(x)0，g(x)0，得5xx2，log5xx2. 作出函数y5x，ylog5x，yx2的图象， 如图所示， 因为函数f(x)5xx2，g(x)log5xx2的 零点分别为x1，x2， 所以x1是函数y5x的图象与直线yx2交点A的横坐标，x2是函数ylog5x的图象与直线yx2交点B的横坐标.,1,2,3,4,因为y5x与ylog5x的图象关于yx对称，直线yx2也关于yx对称， 且直线yx2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于yx对称. 又线段AB的中点是yx与yx2的交点，即(1,1)，所以x1x22. 答案 2,1,2,3,4,4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一 个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则 其边长x为_m.,押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点.,1,2,3,4,解析 如图，过A作AHBC交于点H，交DE于点F，,当且仅当40xx，即x20时取等号， 所以满足题意的边长x为20 m. 答案 20,
