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1、2065 - 经济应用数学二（线性代数）单项选择题1设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（）A.|A|=0B.|E+B|=0C.|A|=0 或|E+B|=0D.|A|=0且 |E+B|=0答案：C2A.1B.-1C.2D.-2答案：C3若C=AB，则（）A.A与B的阶数相同;B.A与B的行数相同;C.A与B的列数相同;D.C与A的行数相同。答案：D4A*是A的伴随矩阵，且|A|0，刚A的逆矩阵A-1=（ ）。A.AA*B.|A|A*C. ；D.AA*答案：C5矩阵A的秩为r，则知 （）A.A中所有r阶子式不为0；B.A中所有r+1阶子式都为0；C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不
2、为0；D.r-1阶子式都为0。答案：B6A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*|=（ ）。A.|A| ；B.1；C.|A|n-1D.|A|n+1答案：C7设A，B，C为同阶矩阵，若ABAC，必推出BC，则A应满足条件（）A.|A|0B.AOC.|A|0D.A0答案：A8设A是sxt矩阵，B是同mn矩阵，如果ACTB有意义，则C应是（ ）矩阵。A.snB.smC.mtD.tm答案：C9设 A、B为n阶矩阵，A可逆，k0，则运算（）正确.A.B.C.D.答案：D10设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（ ）。A.2B.-2C.D.答案：C11设 A是mk矩阵, B是mn矩阵, C是sk
3、矩阵, D是sn矩阵,且kn, 则下列结论错误的是（）.A.BTA是nk矩阵B.CTD是nk矩阵C.BDT是ms矩阵D.DTC是nk矩阵答案：B12设 A、B为n阶方阵，则（）.A.B.C.D.AB = O时，A = O或B = O答案：A13设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（）。A.若A ,B均可逆, 则 A + B 可逆B.若A ,B均可逆, 则 AB 可逆C.若A + B可逆, 则 A- B 可逆D.若A + B可逆, 则 A, B均可逆答案：B14当（）时，A =是正交阵.A.a = 1, b = 2, c = 3B.a = b = c = 1C.D.答案：C15设A为三
4、阶方阵，且A2=0，以下成立的是（）A.A=0B.A3=0C.R(A)=0D.R(A)=3答案：B16在下列命题中，正确的是（）A.B.若AB，则；C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；D.答案：D17t满足（）时，线性无关.A.t1；B.t=1 ；C.t0；D.t0.答案：A18设 1,2,s为n维向量组, 且秩R(1,2,s)=r 则（）。A.该向量组中任意r个向量线性无关；B.该向量组中任意 r+1 个向量线性相关；C.该向量组存在唯一极大无关组；D.该向量组有若干个极大无关组.答案：B19如果两个同维的向量组可以相互线性表示, 则这两个向量组（）.A.相等B.所含向量的个数相等
5、C.不相等D.秩相等答案：D20设1,2,3是AX = B的三个线性无关的解, 其中A是秩为1的43矩阵, B是4维列向量，则下列（）是AX=O的基础解系.A.1+2+3B.1+223C.1，2，3D.21，32答案：D21如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）A.相等；B.所含向量的个数相等；C.不相等 ；D.秩相等。答案：D22两个n阶矩阵A与B相似的，是指（）A.PAP-1=BB.QTAQ=BC.Q-1AQ=BD.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）答案：C23当A是正交阵时，下列结论错误的是（）.A.A-1=ATB.A-1也是正交阵C.AT也是正交阵D.A的行列式值一定为1答案
6、：D24设 =4 是方阵A的一个特征值, 则矩阵A5E的一个特征值是（）.A.1B.9C.1D.9答案：B计算题25计算行列式D= 。答案：26计算行列式。答案：27计算行列式D = .答案：D=(2-b2)228答案：解：所以。29解矩阵方程XA =B ，其中.求X。答案：30判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。答案：解：因为，所以 可逆。所以 。31求解线性方程组.答案：32求向量组，的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。答案：所以一个极大无关组为，且。33求齐次线性方程组的通解。答案：解:，所以，基础解系.所以通解为：。34设，求A的特征值及对应的特征向量.答案：解：
7、特征值15，231.对于15，特征向量为对于2-1，特征向量为.35答案：解：由，得A的特征值为：。当时，齐次方程组为 ,由，解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。当时，齐次方程组为 ,由，解得基础解系为所以A的属于特征值的全部特征向量为。36求矩阵的特征值和特征向量。答案：解：由，得A的特征值为：。当时，齐次方程组为 ,解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。当时，齐次方程组为 ,解得基础解系为所以A的属于特征值的全部特征向量为。37将二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2-4x1x3+2x22-4x2x3-x32化为标准型。答案：解：38将二次型f(x1
8、,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。答案：解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得39化二次型f(x1,x2,x3)=x12-4x1x2-4x1x3+2x22+3x32为标准型。答案：填空题40行列式D=的转置行列式DT= _ 。答案：DT=418级排列36215784的逆序数在(36215784)=_.答案：1042若行列式，则x=_。答案：-543排列36i15j84在i=_,j=_时是奇排列。答案：7，244若，则x=_.答案：545答案：46设A为三阶矩阵且|A|2，则|4A|_ .答案：12847A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)-1=_。答案：48若A=
9、，则R(A) =_.答案：249设A=，则A-1=_.答案：50若A=，则R(A) =_.答案：351设向量组，则向量组1,2,3,4线性_（填线性相关或线性无关）。答案：线性相关52k满足_时，线性方程组只有零解.答案：k2且k153单独一个零向量必线性_，单独一个非零向量必线性_.答案：相关，无关54设=(11 0),=(03 0),=(1 2 0),则 3+2-4 =_。答案：(-1 1 0)55二次型 f(x,y)= x2-4xy+y2 的系数矩阵是 ?答案：56当t 满足条件_，使二次型 f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。答案：57二次型
10、f(x,y)=2x2-xy-y2的系数矩阵是_。答案：证明题58设A,B为 r 阶矩阵，且，证明：A2=A成立的充要条件是B2=E。答案：证明：由又故B2=E,从而A2=A等价于B2=E。59设向量组1,2,3线性无关，证明：向量组1+2,2+3,3+1线性无关。答案：60如 1,2,3,t向量组线性无关，试证明：向量组1,1+2,1+2+3, ,1+2+t 线性无关。答案：证明：假设向量组1,1+2, ,1+2+t 线性相关，那么存在不全为0的数 k1，k2， kt，使得：k11+k2(1+2)+k1(1+2+t )=0 ，所以：k11+k21+k22+k11+k12+ktt =0；即：（k1+k2+kt）1+(k2+kt)2+ktt=0 。因为向量组 1,2,3,t线性无关，所以：k1+k2+kt =0，k2+kt =0，kt =0，所以 k1=k2=kt =0 矛盾。故向量组 1,1+2, ,1+2+t 线性无关。
