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1、第4讲 直线、平面垂直的判定与性质,最新考纲 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.,知 识 梳 理,1.直线与平面垂直,(1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的 直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理,两条相交直线,平行,la,lb,a,b,a,b,2.平面与平面垂直,(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直,直二面角,(2)判定定
2、理与性质定理,垂线,交线,l,l,a,la,l,4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.( ) (2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个.( ) (3)若两条直线垂直，则这两条直线相交.( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.(
3、),2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.故选A.,答案 A,3.(2015浙江卷)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m( ),A.若l，则 B.若，则lm C.若l，则 D.若，则lm,解析 由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，与可能相
4、交；D选项中，l与m可能异面.,答案 A,答案 B,5.(人教A必修2P67练习2改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，,(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心. (2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,图1 图2,(2)如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高.同理可证B
5、D，AH为ABC底边上的高，即O为ABC的垂心.,答案 (1)外 (2)垂,考点一 线面垂直的判定与性质,【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. 证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，,CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60， 可得ACPA.E是PC的中点， AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD. PA底面A
6、BCD，AB平面ABCD， PAAB.又ABAD，且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.,规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.,考点二 面面垂直的判定与性质,【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F
7、分别是CD和PC的中点.求证： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,证明 (1)平面PAD平面ABCDAD. 又平面PAD平面ABCD，且PAAD， PA平面PAD.PA底面ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE. 四边形ABED为平行四边形.BEAD. 又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD. (3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形. BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD， 则PACD，,又PAADA，CD平面PAD， 又PD平面PAD，从而CDPD， 又E、F分别
8、为CD、CP的中点， EFPD，故CDEF. 由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE， CD平面BEF.又CD平面PCD. 平面BEF平面PCD.,规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理. (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,考点三 直线、平面垂直的综合应用,(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD； (2)求四棱锥PABCD的体积.,规律方法 平行、垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2
9、)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,【训练3】 (2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面AA1C1C； (2)BC1AB1.,证明 (1)由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DEAC. 又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C， 所以DE平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以CC1平面ABC. 因为AC平面ABC，,所以
10、ACCC1. 又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1. 又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC. 因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1B1C. 因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC， 所以BC1平面B1AC. 又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.,考点四 线面角、二面角的求法,【例4】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD； (3)求二面角APDC的正
11、弦值.,(1)解 在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB.又ABAD，PAADA， 从而AB平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而APB为PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,(2)证明 在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA. 由条件CDAC，PAACA， CD平面PAC. 又AE平面PAC，AECD. 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 又PCCDC，综上得AE平面PCD.,(3)解 过点E作
12、EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示. 由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM， 则AMPD. 因此AME是二面角APDC的平面角.由已知， 可得CAD30.,规律方法 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,【训练4】 (2016天津模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC.E是PC的中点，作EFPB交PB于点
13、F. (1)证明PA平面EDB； (2)证明PB平面EFD； (3)求二面角CPBD的大小.,(1)证明 如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO. 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点. 在PAC中，EO是中位线，PAEO. 而EO平面EDB且PA平面EDB， PA平面EDB.,思想方法 1.三类论证 (1)证明线线垂直的方法 定义：两条直线所成的角为90； 平面几何中证明线线垂直的方法； 线面垂直的性质：a，bab； 线面垂直的性质：a，bab. (2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；,2.转化思想：垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.,易错防范 1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.,
