《2020版高考数学（理）一轮课件：第5章第2讲 平面向量的数量积及应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（理）一轮课件：第5章第2讲 平面向量的数量积及应用 （61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 平面向量的数量积及应用,【高考帮理科数学】第五章：平面向量,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 平面向量的数量积,考点2 平面向量应用举例,考法1 平面向量的数量积运算,考法2 平面向量的模长、夹角的计算,考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用,考法4 向量在物理中的应用,考法5 向量与其他知识的综合应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,专题 有关数量积的最值(范围)问题,理科数学 第五章：平面向量,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第五章：平面向量,命题规律,1.命题分析预测 本讲在高考中主要考查向量的数量积
2、运算,利用向量数量积解决模长、夹角问题,平行或垂直问题,有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题,主要以小题的形式出现,分值5分,难度不大. 2.学科核心素养 本讲主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 平面向量的数量积 考点2平面向量应用举例,理科数学 第五章：平面向量,1.向量的夹角,考点1 平面向量的数量积（重点）,思维拓展 1.两个向量夹角的范围为0,两条直线夹角的范围为0, 2 . 2.两个向量a,b的夹角为锐角ab0且向量a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角ab0且向量a,b不共线.,理科数学 第五章：
3、平面向量,2.平面向量的数量积 注意 投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.,理科数学 第五章：平面向量,3.向量数量积的运算律 (1)ab=ba; (2)(a)b=(ab)=a(b); (3)(a+b)c=ac+bc. 注意 注意实数运算律与向量数量积运算律的区别与联系. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.,理科数学 第五章：平面向量,理科数学 第五章：平面向量,注意 向量平行与垂直的坐标公式不要记混.,1.向量在平面几何中的应用 基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、平行、垂
4、直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.,考点2 平面向量应用举例,思维拓展 三角形“四心”的向量表示 在ABC中,若| |=| |=| |或 2 = 2 = 2 ,则点O是ABC的外心; 在ABC中,若 + + =0,则点G是ABC的重心; 在ABC中,若 = = ,则点H是ABC的垂心; 对于ABC,O,P为其所在平面内的任意两点,若 = +( | | + | | )(0),则直线AP过ABC的内心.,理科数学 第五章：平面向量,2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它们的分解与合成可以用向量的加法或减法来解决. (2)物理中的功W是一个标量,它是力
5、F与位移s的数量积,即W=Fs=|F|s|cos .,理科数学 第五章：平面向量,B考法帮题型全突破,考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的模长、夹角的计算 考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用 考法4 向量在物理中的应用 考法5 向量与其他知识的综合应用,理科数学 第五章：平面向量,考法1 平面向量的数量积运算,1.求平面向量数量积 示例1 (1)2019江西名校高三质检已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2, -6),|b|= 10 ,则ab= . (2)如图,在梯形ABCD中,ABCD,CD=2,BAD= 4 ,若 =2 ,则 = .,解析 (1)因为a=(-2,-6)
6、,所以|a|= (2 ) 2 +(6 ) 2 =2 10 ,又|b|= 10 ,向量a与b的夹角为60,所以ab=|a|b|cos 60=2 10 10 1 2 =10. (2)解法一 (利用向量的加、减法运算和数量积的定义求解)因为 =2 ,所以 - = ,所以 = . 因为ABCD,CD=2,BAD= 4 ,所以2| |=| | |cos 4 ,化简得| |=2 2 .(利用ab=|a|b|cos 求解) 故 = ( + )= | | 2 + = (2 2 ) 2 +2 2 2cos 4 =12.,理科数学 第五章：平面向量,解法二 (利用向量的坐标运算求解)如图,建立平面直角坐标系xAy
7、. 依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m0,n0, 则由 =2 ,得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m), 所以n(m+2)=2nm,化简得m=2. 故 =(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12.(利用ab=x1x2+y1y2求解),理科数学 第五章：平面向量,方法总结 求向量a,b的数量积ab的三种方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2; 当已知向量是非坐标形式时,若图形适合建立平面直角
8、坐标系时,可建立坐标系,运用坐标法求解. (3)利用数量积的几何意义求解.,理科数学 第五章：平面向量,2.向量的投影问题 示例2 2018河北省武邑四模ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足 = 1 2 ( + ),| |=| |,则 在 方向上的投影等于 A.- 3 2 B. 3 2 C. 3 2 D.3,理科数学 第五章：平面向量,思维导引 先根据已知确定点O的位置,然后判断OAC的形状,再利用三角形的边长与内角直接求解. 解析 因为ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足 = 1 2 ( + ), 所以点O在BC上,且O为BC的中点,如图,(确定O点的位置) 所以BC是ABC外接圆的直径
9、,故BAC=90.(直径所对的圆周角为直角),理科数学 第五章：平面向量,因为| |=| |=| |,所以OAC是等边三角形, 所以ACB=60,所以ABC=30. 在RtABC中,| |=| |sin 60= 3 ,(解直角三角形) 所以 在 方向上的投影为 | |cosABC=| |cos 30= 3 3 2 = 3 2 .(几何法求投影) 答案 C,理科数学 第五章：平面向量,感悟升华 1.求向量a在向量b方向上的投影的方法 (1)根据定义求解,即a在b方向上的投影为|a|cos; (2)利用数量积求解,即a在b方向上的投影为 |b| . 2.根据数量积求参数的值 若已知两平面向量的数量
10、积,则根据坐标公式或定义列出含有参数的方程,再解方程即可.,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式1 (1)已知菱形ABCD的边长为6,ABD=30,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=CF.若 =-9,则的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影是( ) A.-3 5 B.- 3 2 2 C.3 5 D. 3 2 2,理科数学 第五章：平面向量,1.(1)B 依题意得 = + = 1 2 - , = + 1 ,因此 =( 1 2 - )( + 1 )= 1 2 2 - 1 2 +
11、( 1 2 -1) ,于是有( 1 2 - 1 )62+( 1 2 -1)62 cos 60=-9,解得=3,故选B. (2)A 依题意,得 =(-2,-1), =(5,5),所以 =-15,| |= 5 ,因此向量 在 方向上的投影是 | | = 15 5 =-3 5 ,故选A.,理科数学 第五章：平面向量,考法2 平面向量的模长、夹角的计算,1.求向量的模长问题 示例3 (1)2019湘中名校联考已知向量a=(x, 3 ),b=(x,- 3 ),若(2a+b)b,则|a|= A.1 B. 2 C. 3 D.2 (2)设向量a,b满足|a|=2,|b|=|a+b|=3,则|a+2b|= .
12、(3)已知向量a=(cos ,sin ),b=(- 3 ,1),则|2a-b|的最大值为 .,解析 (1)因为(2a+b)b,所以(2a+b)b=0,即(3x, 3 )(x,- 3 )=3x2-3=0,解得x=1,所以a=(1, 3 ),所以|a|= (1 ) 2 +( 3 ) 2 =2.故选D. (2)因为|a|=2,|b|=|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=4+9+2ab=9,所以ab=-2,所以|a+2b|= (a+2b ) = |a | +| | = 48+36 =4 2 . (3)解法一 (代数法)由题意得|a|=1,|b|=2,ab=sin - 3 co
13、s =2sin(- 3 ),所以|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4ab=412+22-8sin(- 3 )=8-8sin(- 3 ), 所以|2a-b|2的最大值为8-8(-1)=16,故|2a-b|的最大值为4(此时=2k- 6 ,kZ).,理科数学 第五章：平面向量,解法二 (代数法)因为a=(cos ,sin ),b=(- 3 ,1),所以2a-b=(2cos + 3 ,2sin -1), 所以|2a-b|= (2cos+ 3 ) 2 + (2sin1) 2 = 84(sin 3 cos) = 88sin( 3 ) .故|2a-b|的最大值为 88(1) =4(此时=2k- 6 ,kZ). 解法三 (几何法)设向量a,b的起点均为坐标原点,则向量2a与b的终点均在以坐标原点为圆心、2为半径的圆上,易知|2a-b|的最大值就是圆的直径4(此时向量a,b方向相反). 解法四 (绝对值三角不等式)由题意得|2a-b|2|a|+|b|=21+2=4,当且仅当向量a,b方向相反时不等式取等号,故|2a-b|的最大值为4.,理科数学 第五章：平面向量,方法总结 1.求向量模长的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用,要掌
