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1、2.3 二次函数与幂函数,高考理数,1.二次函数的图象和性质,知识清单,2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下,五个常见的幂函数:y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象如图所示. 3.幂函数的性质,方法1 三个“二次”问题的处理方法 1.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”.它们常结合在一起,而 二次函数又是其核心.因此,利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.如一元 二次方程根的分布问题常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方 面入手处理. 2.二次函数的最值问题一般有三个类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,一般与图
2、象的 开口方向、对称轴位置有密切关系,解题的关键是弄清或分类讨论轴与区间的位置关系. 例1 (2012福建,15,4分)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 设f(x)=(2x-1)*(x-1),且 关于x的方程f(x)=m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是 . 解析 函数f(x)= 的图象如图所示.,突破方法,设y=m与y=f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1、x2、x3. 由y=-x2+x=- + ,得顶点坐标为 . 当y= 时,代入y=2x2-x,得 =2x2-x,解得x= (舍去正值),x1 . 又y=-x2+x的对称轴为x= , x
3、2+x3=1,且x2,x30,0x2x3 = .,又02时,g(x)=ax-2a2时, f(x)7-a0,不存在f(x0)0时,g(x)=ax-2a单调递增且过点(2,0), 当x6(舍)或a-2(舍),当 2,即a4时,此时需满足f(2)=7-a7, 综上,实数a的取值范围为(7,+),故选D. 1-2 已知函数f(x)=8x2-(m-1)x+m-7.求m取何值时,函数的零点分别满足下列条件:(1)均为正数; (2)一个零点大于2,另一个零点小于2. 解析 设方程f(x)=0的两根分别为x1,x2. (1)解法一:方程f(x)=0的两根均为正数,则 即 解得7m9或m25. 解法二:方程f(
4、x)=0的两根均为正数,即均大于0,则 即 解得727.,方法2 幂函数的图象及性质的应用 研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x(R)的相关性质,再 辅之以数形结合的手段,这类问题就会迎刃而解. 例2 (2015甘肃兰州二模,4,5分)幂函数y=f(x)的图象经过点 ,则f 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 设幂函数为y=x(xR), 幂函数的图象经过点 , =4, =- ,y= , 则f = =2.故选B. 答案 B 2-1 (2016河南偃师中学4月月考,7,5分)幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第 一象限分成了八个“卦限”:,(如图所示),那么幂函数y= 的图象经过的,“卦限”是 ( ),A. B. C. D. 答案 D 解析 幂函数y= 的图象形状是上凸形,在(0,1)上图象在y=x的上方,在(1,+)上图象在y=x的下 方,故可知y= 的图象经过的“卦限”是.,
