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1、9.2 圆的方程,高考理数,1.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 (a,b) ,半径为r的圆的标准方程; (2)特别地,以原点为圆心,r(r0)为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2. 2.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 + = . (1)当D2+E2-4F0时,方程表示以 为圆心, 为半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ; (3)当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形. 3.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,知识清单,(1)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点P
2、在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点P在圆内. 【知识拓展】 1.确定圆的方程必须有三个独立条件. 不论是圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要 三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组,解之 得到待定字母系数的值,从而确定圆的方程. 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 3.ABC外接圆半径的求解,可利用正弦定理:2R= = =
3、(a,b,c为ABC对应三边的 长,R为ABC外接圆的半径).,“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法: (1)选形式:若已知条件多与圆心、半径,与直线相切,弦长,弧长,三角形(扇形)面积、距离等几何 性质有关,常选用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2;若已知条件与圆上的普通点相关,则常选用圆的 一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)定参数:若已知条件与圆的几何性质相关,则采用几何法;若已知条件与圆心、半径有关,则采 用待定系数法.但是不论哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式. 例1 (2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,
4、-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 B.8 C.4 D.10 解析 解法一:待定系数法(选标准方程形式求圆的参数). 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1,则P(1,-2),|PA|= =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2- 2 )|=4 .,突破方法,方法1 圆的方程,解法二:待定系数法(选一般方程形式求圆的参数). 设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C三点的坐标, 得 解得
5、 圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0,得y2+4y-20=0, yM+yN=-4,yMyN=-20. |MN|=|yM-yN|= = = =4 . 解法三:几何法(利用几何性质确定圆的参数). 由已知得kAB= =- ,kCB= =3,所以kABkCB=-1,所以ABCB,即ABC为直角三角形,其外接圆 圆心为(1,-2),半径为5,所以外接圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,得y=2 -2,所以|MN|=4 . 答案 C 1-1 求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.,解析 解法一:设圆心C(a,-4a)
6、,则C到l的距离d= ,点P在圆上, =|PC|= , 即a2-2a+1=0,解得a=1. 圆心C(1,-4),d=r=2 . 圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 解法二:过切点P且与l垂直的直线是y+2=x-3,即x-y-5=0. 由 得圆心坐标为(1,-4),于是r=2 , 圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8.,处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形 结合思想求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问
7、题,也可用三角代换求解; (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题. 例2 (2015内蒙古一机一中期中,15)已知实数x、y满足(x-2)2+y2=3,则 的最大值为 . 解题思路 考虑 的 几何意义求过原点且与圆 相切的直线的斜率结论 解析 = , 表示连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率,易知 取最大值时,该直线 与圆相切. 设 =k,则kx-y=0.,方法2 与圆有关的最值问题,由 = ,得k= , 故 = . 答案 2-1 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求y-x的最大值和最小值; (2)求x2+y2的最大值和最小值. 解析 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 为半径的圆.,
