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1、2.3变量间的相关关系学习目标1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.知识点一变量间的相关关系相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系.知识点二散点图及正、负相关的概念思考粮食产量与施肥量间(在一定范围内)的相关关系有什么特点？答案在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高.梳理(1)散点图将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关
2、系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.点(，)叫样本点中心.(2)正相关与负相关正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.知识点三回归直线回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.回归直线过样本点中心.(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程.(3)最小二乘法：求线性回归方程x时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.其中，是线性回归方程的斜率，是线性回归方程在y轴上的截距.1.人的
3、身高与年龄之间的关系是相关关系.()2.农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.()3.回归直线过样本点中心(，).()类型一变量间相关关系的判断例1下列两个变量之间是相关关系的是()A.圆的面积与半径之间的关系B.球的体积与半径之间的关系C.角度与它的正弦值之间的关系D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系考点变量间的相关关系题点相关关系的判断答案D解析由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系Sr2，B表示球的体积与半径之间的关系V，C表示角度与它的正弦值之间的关系ysin ，都是确定的函数关系，只有D是相关关系，故选D.反思与感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关
4、系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.跟踪训练1下列两个变量间的关系不是函数关系的是()A.正方体的棱长与体积B.角的度数与它的正切值C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量D.日照时间与水稻的单位产量考点变量间的相关关系题点相关关系与函数关系的辨析答案D解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系.因为A项Va3，B项ytan ，C项yax(a0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系.D项是相关关系.类型二散点图的应用例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：学生成
5、绩ABCDE数学成绩8075706560物理成绩7066686462判断它们是否具有线性相关关系.考点散点图题点利用散点图判断两个变量是否有相关关系解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示.由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系.反思与感悟(1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图.变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关.(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.跟踪训练2下列图形中两个变量具有线性相关关系的是()
6、考点散点图题点利用散点图判断两个变量是否有相关关系答案C解析A是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的.类型三回归直线的求解与应用例3一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图；(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中，若它们的
7、近似方程为yx，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？考点回归直线题点回归直线的应用解(1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y10得x10，解得x14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.引申探究1.本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？解因为yx，所以当x增加一个单位时，y大约增加.2.本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速.解因为yx，所以当y7时，7x，解得x11.反思与感悟求线性回归方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n)
8、(数据一般由题目给出).(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.(3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi.(4)计算，iyi.(5)代入公式计算，公式为(6)写出线性回归方程x.跟踪训练3某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070考点回归直线题点求回归直线方程(1)画出散点图；(2)求回归方程.解(1)散点图如图所示.(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x4162536645，50，145，iyi1 380于是可得，
9、6.5，506.5517.5.于是所求的回归方程是6.5x17.5.1.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2,3，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1,2,3，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定()A.x与y正相关，u与v正相关B.x与y正相关，u与v负相关C.x与y负相关，u与v正相关D.x与y负相关，u与v负相关考点散点图题点利用散点图判断两个变量是否有相关关系答案C解析由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关.2.工人工资y(元
10、)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为5080x，下列判断正确的是()A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元考点回归直线题点回归直线的应用答案B解析因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为
11、0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点中心(，)C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg考点回归直线题点回归直线的应用答案D解析当x170时，0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79 kg.4.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合0.8x0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是_亿元.考点回归直线题点回归直线的应用答案12.1解析将x15代入0.8x0.1，得12.1.
12、5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则线性回归方程是_.答案1.23x0.08解析回归直线的斜率的估计值为1.23，即1.23，又回归直线过定点(4,5)，51.2340.08，1.23x0.08.1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关.2.求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其
13、估计和预测的量也是不可信的.(2)用公式计算，的值时，要先计算，然后才能算出.3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为x，则在xx0处的估计值为0x0 .一、选择题1.判断下图中的两个变量，具有较强相关关系的是()考点两个变量的线性相关的应用题点相关性强弱的判断答案B解析A，C是函数关系，D中的点的分布毫无规则，横轴、纵轴表示的两个变量之间相关性不强.2.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200考点正相关、负相关题点利用数据或方程判断两个变量的正负相关答案A解析x的系数为负数，表示负相关，排除B，D，由实际意义可知x0，y0，C中，散点图不经过第一象限，故选A.3.已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为2.2x0.7，则m的值为()A.1 B.0.85C.0.7 D.0.5考点回归直线题点样本点中心的性质答案D解析1.5，将其代入2.2x0.7，可得m0.5，故选D.4.设有一条回归直线的方程为21.5x，则变量x增加1个单位时()A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位考点回归直线题点回归直线的应用答案C解析回归方程为121.5x，221.5(x1)，
