小学数学奥数 专题(六年级)

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1、1 第 1页，共 178页 小学数学奥数小学数学奥数 专题专题( ( ( (六年级六年级) ) ) ) 比较分数的大小比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数 的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产 生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相 同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不

2、同的两个分数，通常是采用通分的方 法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。 下 面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大， 而分子的最小公倍数比 较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的 方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称 为“通分子”。 2.化为小数。 2 第 2页，共 178页 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时 是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可

3、以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、 则分母 （子） 大的分数较大； 若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就 是说， 6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数 m 和 n，若 mk，kn，则 mn。 （2）对于分数 m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。 3 第 3页，共 178页 前一个差比较小，所以 mn。 （3）对于分数 m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两 个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。

4、（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新 分数一定介于两个已知分数之间， 即比其中一个分数大， 比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已 知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。 比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结， 但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同， 分母小的分数大”这一基本方法。 练习练习 1 1 1.比较下列各组分数的大小： 4 第 4页，共 178页 答案与提示练习练习 1 1 小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程( ( ( (六年级六年级) ) ) ) 本教程共

5、30 讲 巧求分数巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或 分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、 减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题 目变化很多，因此解法也不尽相同。 数。 5 第 5页，共 178页 分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母 调换位置后的分数，再求倒数即可。 个分数。 分析与解分析与解：因为加上和减去的数不同， 所以不能用求平均数的方法求 解。 ，这个分数是多少？ 分析与解：分析与解：如果把这个分

6、数的分子与分母调换位置，问题就变为： 6 第 6页，共 178页 这个分数是多少？ 于是与例 3 类似，可以求出 在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分 母同时变化，那么会怎样呢？ 数 a。 分析与解：分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不 变，等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、 分 母约掉 45-43=2。 求这个自然数。 同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分 后变 7 第 7页，共 178页 例 7 一个分数的分子与分母之和是 23， 分母增加 19 后得到一个新分 数

7、， 分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得 到 分析与解分析与解：分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数 的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加 82=16。 在例 8 中，分母应加的数是 在例 9 中，分子应加的数是 8 第 8页，共 178页 由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式： 分子应加（减）的数=分母所加（减）的数原分数； 分母应加（减）的数=分子所加（减）的数原分数。 分析与解分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类 题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。 （2x+2）3=

8、（x+5）4， 6x+6=4x+20， 2x=14， x=7。 练习练习 2 2 9 第 9页，共 178页 是多少？ 答案与提示练习练习 2 2 10 第 10页，共 178页 5.5。解：(53+79)(4+7)=12， a=53-412=5。 6.13。解：（67-22）（16-7）=5，75-22=13。 解：设分子为 x，根据分母可列方程 小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程( ( ( (六年级六年级) ) ) ) 本教程共 30 讲 分数运算的技巧分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握 一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

9、 1.1.凑整法凑整法 11 第 11页，共 178页 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算 法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、 商 成为整数、整十数从而使运算得到简化。 2.2.约分法约分法 3.3.裂项法裂项法 12 第 12页，共 178页 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵 消，则能大大简化运算。 例例 7 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的 和等于 1。 分析与解：分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不 同的 就非常简单了。 13 第 13页

10、，共 178页 括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成： 所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。 的 10 和 30，仍是符合题意的解。 4.4.代数法代数法 5.5.分组法分组法 分析与解分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母 为 n 的分数之和为 14 第 14页，共 178页 原式中分母为 220 的分数之和依次为 练习练习 3 3 8.在自然数 160 中找出 8 个不同的数， 使这 8 个数的倒数之和等于 1。 15 第 15页，共 178页 答案与提示练习练习 3 3 1.3。 16 第 16页，共 17

11、8页 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。 9.5680。 解：从前向后，分子与分母之和等于 2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个， 等于 4 的有 3 个人一般地，分子与分母之和等于 n 的有(n-1)个。分 子与分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+106=5671（个）， 5671+9=5680（个）。 小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程( ( ( (六年级六年级) ) ) ) 本教程共 30 讲 循环小数与分数循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果， 或者是有限小数， 或者是循环小数， 而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，

12、什么样的分数能 化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、 混循环小数呢？我们先 看下面的分数。 17 第 17页，共 178页 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数 2 和 5， 化 因为 40=2 35，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数 2 和 5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分 的位数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况

13、：一个最简分数化为小数有三种情况： （1 1）如果分母只含有质因数）如果分母只含有质因数 2 2 和和 5 5，那么这个分数一定能化成有限，那么这个分数一定能化成有限 小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数 2 2 与与 5 5 中个数较多的那个中个数较多的那个 数的个数；数的个数； （2 2）如果分母中只含有如果分母中只含有 2 2 与与 5 5 以外的质因数以外的质因数，那么这个分数一定能那么这个分数一定能 化成纯循环小数；化成纯循环小数； （3 3）如果分母中既含有质因数如果分母中既含有质因数 2 2 或或 5 5，又含有又含有 2 2 与与 5

14、 5 以外的质因数以外的质因数， ， 那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母 中质因数中质因数 2 2 与与 5 5 中个数较多的那个数的个数。中个数较多的那个数的个数。 例例 1 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小 数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环 部分有几位？ 分析与解：分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=2 5，21=37，250=253，78=2313， 18 第 18页，共 178页 117=3 313，850=25217， 根据上面

15、的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可 能比较熟悉将有限小数化成分数的方法， 而对将循环小数化成分数的方法 就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环 小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。 将上两式相减，得将上两式相减，得 从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法：纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是 9 9，9 9 的个数与循环节的位数相同。的个数与循环节的位数

16、相同。 19 第 19页，共 178页 2.将混循环小数化成分数。 将上两式相减，得 将上两式相减，得 从例 4、例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法：混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所 组成的数组成的数， 减去不循环数字所组成的数所得的差减去不循环数字所组成的数所得的差； 分母的头几位数字是分母的头几位数字是 9 9， ， 末几位数字都是末几位数字都是 0 0，其中其中 9 9 的个数与循环节的位数相同的个数与循环节的位数相同，0 0 的个数与不循的个数与不循 环部分的位数相同。环部分的位数相同。 20 第 20页，共 178页 掌握了将循环小数化成分数的方法后， 就可以正确地进行循环小数的 运算了。 例例 6 6 计算下列各式： 练习练习 4 4 1.下列各式中哪些不正确？为什么？ 21 第 21页，共 178页 2.划去小数 0.2