《（陕西专用）2018高考数学 第五章 第五节 数列的综合应用课件 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（陕西专用）2018高考数学 第五章 第五节 数列的综合应用课件 文 北师大版（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 数列的综合应用,数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. 审题仔细阅读材料，认真理解题意. 建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. 求解求出该问题的数学解. 还原将所求结果还原到原实际问题中.,具体解题步骤用框图表示如下：,（2）数列应用题常见模型. 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差. 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an
2、+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. （1）在等差数列an中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个( ) （2）在等比数列an中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个( ),（3）数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对nN+有 ( ) （4）数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式 2nn时，可以构造函数f(n)=2n-n（nN+），然后对这个函数 求导，研究函数的
3、性质得出所证不等式( ),【解析】(1)正确根据等差数列各个元素之间的关系知正 确 （2）正确根据等比数列各个元素之间的关系知正确 （3）错误 对n2才有意义 （4）错误函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把 函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导 答案：（1） （2） （3） （4）,1设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数 列，则an的前n项和Sn=( ) (A) (B) (C) (D)n2+n 【解析】选A.设数列an的公差为d，则根据题意得 (2+2d)2=2(2+5d)，解得 或d=0（舍去），所以数列an 的前n项和,2.设等差数列an的公差d不为
4、0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中 项，则k=( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解析】选B.由等差数列an且a1=9d，得 ak=a1+(k-1)d=(k+8)d， a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d. 又ak是a1与a2k的等比中项，则有 即(k+8)d2=9d(2k+8)d得 k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2（舍去）,3已知x0，y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数 列，则 的最小值是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 【解析】选D.a+b=x+y,cd=xy, ,4.等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S
5、2，3S3成等差数列，则an的公比为_ 【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3， 即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解得 答案：,考向1 等差数列与等比数列的综合 【典例1】（1）已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项 和，且S1,S2,S4成等比数列,则 =( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 （2）（2012湖北高考）已知等差数列an前三项的和为 -3，前三项的积为8. 求等差数列an的通项公式； 若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和.,【思路点拨】（1）由等比中项的性质列出S22=S1S4,再代入等差数列
6、的通项公式和前n项和公式，用a1和公差d表示出来，求出a1和d的关系，进而求出式子的比值. (2)根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数列通项公式可得结果 根据a2，a3，a1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的符号分段求解数列|an|的前n项和.,【规范解答】（1）选C.设等差数列an的公差为d，且d0， S1,S2,S4成等比数列，S22=S1S4, d2=2a1d,解得d=2a1或d=0（舍去）, 故选C.,（2）设等差数列的公差为d，根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1，进而得a1a3=-8， 即(a2-d)(a2+d)=-8， 所以1-d2=-8，解得d=3 当d=3
7、时，a1+3=-1，得a1=-4， 此时an=-4+(n-1)3=3n-7； 当d=-3时，a1-3=-1，得a1=2， 此时an=2+(n-1)(-3)=-3n+5 an的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.,d=3时，a2=-1，a3=2,a1=-4, 此时a2,a3,a1成等比数列； 当d=-3时，a2=-1,a3=-4,a1=2， 此时a2,a3,a1不是等比数列，故an=3n-7，这个数列的第一、二两项为负值，从第三项开始为正值 方法一：当n2时，|an|=7-3n，这是一个首项为4，公差为-3的等差数列， 故,当n2时，|an|=an=3n-7，此时这个数列从第三项起是一个
8、公 差为3的等差数列，故 Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an =(4+1)+2+5+(3n-7) 所以 这个式子中n=2时两段函数值相 等，故可以写为,方法二：设数列an的前n项和为Tn， 则 由于n2时，|an|=-an， 所以此时 当n2时，Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an) 所以 这个式子中n=2时两段函数值相等，故可以写为,【互动探究】本例题（1）中将条件“S1,S2,S4成等比数列”改 为“a1,a2,a4成等比数列”,结论“ ”改为“ ”， 则结果如何？ 【解析】设等差数列an的公差为d，且d0, a1,a2,a4成等比数列, a22=a1a4, (a1+d)2=
9、a1(a1+3d)a1=d, an=nd.,故,【拓展提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 （1）分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的逻辑次序 （2）细心运算，确定基本量的求解准确无误等差数列、等比数列的综合问题往往要先求出数列中的基本量，才能进行下面的计算或者推理，基本量的求解错误对解答这类试题是致命的失误,(3)注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的
10、影响也是巨大的 【提醒】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合,【变式备选】已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和. （1）求通项an及Sn. （2）设bn-an是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.,【解析】（1）因为an是首项为a1=19，公差d=-2的等差数 列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21, Sn=-n2+20n. （2）由题意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1, 即bn=-2n+21+3n-1. Tn=Sn+(1+3+3n-1),考向2 数列的实际应用 【
11、典例2】（2012湖南高考）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （1）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式. （2）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.,【思路点拨】（1）只要根据增长率求出当年年底的资金总额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求出a1,a
12、2，以及建立an+1与an间的递推关系式 （2）使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列an的通项公式an，令am=4 000即可求出d,【规范解答】（1）由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d， （2）方法一：由（1）得,整理得 由题意，am=4 000, 解得 故该企业每年上缴资金d的值为 时，经过m(m3) 年企业的剩余资金为4 000万元.,方法二：由于 设 化为 与 比较可 得=-2d， 故 这说明数列an-2d是以a1-2d=3 000-3d 为首项, 为公比的等比数列， 所以 即 （下同方法一）,【拓展提升】解答数列实际应用问题的步骤 （1）确定模
13、型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型基本特征见下表：,（2）准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程或者不等式等，在解模时要注意运算准确 （3）给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点,【变式训练】某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等 原因，企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造，预 测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业 一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改 造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为 万元
14、（n为正整数）,（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（需要扣除技术改造资金），求An,Bn的表达式. （2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？,【解析】（1）依题意知，数列An是一个以480为首项， -20为公差的等差数列， 所以,（2）依题意得，BnAn， 即 可化简得 设 又nN+，f(n)是减函数，g(n)是增函数， 又 n4,nN+，所以至少经过4年进行技术改造后的累计纯利 润超过不进行技术改造的累计纯利润,考向3 数列与函数、不等式的综合应用 【典
15、例3】已知函数f(x)=ln(1+x)-x，数列an满足： （1）求证：ln(1+x)x. （2）证明数列 为等差数列，并求数列an的通项公式. （3）求证不等式：a1+a2+ann+ln 2-ln(n+2).,【思路点拨】（1）求函数导数,利用函数的单调性证明. （2）根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决. （3）根据（1）（2）的结果分析探究 【规范解答】（1） 当-10，即y=f(x)是增加的； 当x0时，f(x)0，即y=f(x)是减少的 即f(0)是极大值，也是最大值. f(x)=ln(1+x)-xf(0)=0ln(1+x)x,当x=0时取到等号,（2）由ln 2+ln an+1=an+1an+f(an+1an)得 即数列 是等差数列，首项为 公差为-1，,（3）a1+a2+an 又x0时，有xln(1+x), 令 则,【拓展提升】数列中不等式的处理方法 （1）函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 （2）放缩方法：数列中不等
