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1、培优4：立体几何选填提升1【2018年浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则A. 123 B. 321 C. 132 D. 2312【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_3【安徽省宿州市2018届三模】如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. .4【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中，底面是边长为的
2、正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点且，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（ ）A. 为奇函数 B. 在上不单调；C. D. 5【河南省洛阳市2018届三模】在三棱锥中，平面，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 6【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 7【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上,其中平面,则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 8【福建省厦门市2018届二
3、模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 69【山东省威海市2018届二模】已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为_.10【山东省烟台市2018届适应性练习（二）】如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点， 分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起 ，使重合得到一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为_. 11.【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C.
4、D. 12.【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D. 213【2018年全国卷理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D. 培优4：立体几何选填提升1【2018年浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则A. 123 B. 3
5、21 C. 132 D. 231【答案】D从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 2【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决3
6、【安徽省宿州市2018届三模】如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 详解：设，由题意可知，设与底面所成的角为，则，由圆的性质可知：，由线面垂直的定义可知：，结合线面垂直的判断定理可得：平面，则，结合可知平面，据此有，则，由平面可知，结合可得平面，则.在中，利用面积相等可得：，在中，则， ，结合均值不等式的结论可知，当，即时三棱锥的体积最大，此时.本题选择D选项.4【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点且，三棱锥
7、的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（ ）A. 为奇函数 B. 在上不单调；C. D. 详解：在长方体中，为中点， 为矩形内部（含边界）一点， 即 ，则在以为球心的球面上，而到面的距离为，则 由此可知A,B,C选项都不正确，而.故选D.点睛：本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题5【河南省洛阳市2018届三模】在三棱锥中，平面，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 由勾股定理得 三棱锥的外接球的表面积是 故选B.点睛：本题考查了几何体外接球的应用问题，解题
8、的关键求外接球的半径，是中档题6【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. ， 故三棱锥外接球的半径 ，表面积为.故选A.点睛：本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上,其中平面,则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 点睛：8【福建省厦门市2018届二模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【
9、解析】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.详解：设正三棱锥外接球的半径为，则，由三视图可得底面边长为，底面正三角形的高为，底面三角形外接圆半径为，由勾股定理得，得，侧视图面积为 ，故选D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球问题，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接设出球心和半径，列方程求解.9【山东省威海市2018届二模】已知正三棱柱，侧面的面积
10、为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为_.点睛：(1)本题主要考查几何体的外接球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.10【山东省烟台市2018届适应性练习（二）】如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为
11、，为圆上的点， 分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起 ，使重合得到一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为_. .所以.体积最大值为故答案为：.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果要与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.11.【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A详解：根据相互平行
12、的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.学/科-网+12.【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图圆柱
13、表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D. 2【答案】B详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.13【2018年全国卷理】设是同一个半径为4的球的球面上四点
14、，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B详解：如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，,点M为三角形ABC的重心，中，有，故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。5立体几何1【2018年浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则A. 123 B. 321 C. 132 D. 231【答案】D从而因为，
