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1、第2讲 填空题的解法技巧,第二篇 掌握技巧，快速解答客观题,内容索引,题型概述,方法一 直接法,方法二 特例法,方法三 数形结合法,方法四 构造法,方法五 归纳推理法,方法六 正反互推法,填空题突破练,题型概述,填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”,方法一 直接法,直接法就是直接从题设出发，利用有关性质
2、或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题直接法是求解填空题的基本方法,例1 (1)(2015湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_,解析 由题意知，将135号分成7组，每组5名运动员，落在区间139,151上的运动员共有4组， 故由系统抽样法知，共抽取4名 答案 4,解析 由余弦定理：,答案 1,思维升华,利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律
3、和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键,|PF1|PF2|的最大值是8.,8,解析 由已知可得tan tan 3a， tan tan 3a1，,所以，,方法二 特例法,当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论这样可大大地简化推理、论证的过程,解析 把平行四边形ABCD看成正方形，,则点P为对角线的交点，AC6，,18,(2)已知定义在R上的奇函
4、数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_. 解析 此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化,再由图象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.,8,思维升华,求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解,解析 f(1)f(1)，,ln a0，a1. 经验证a1符合题意,1,方法三 数形结合法,
5、对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形,解析 画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，,由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，,最大值为点Q到点A的距离的平方，,取值范围是2,16,答案 2,16,1，),思维升华,数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数数形结合
6、法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系,跟踪演练3 (1)若方程x33xk有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_,解析 设f(x)x33x，令f(x)3x230，得x1， 当x1时，函数f(x)单调递增，f(1)2，f(1)2，要有三个不等实根，,则直线yk与yf(x)的图象有三个交点，2k2.,答案 (2,2),解析 由f(4)f(0)，得164bcc. 由f(2)2，得42bc2. 联立两方程解得b4，c2.,在同一直角坐标系内，作出函数yf(x)与函数yx的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点,答案 3,方法四 构造法,构造型填空题的求解，需要利
7、用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决,解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体， 设正方体的外接球球O的半径为R， 则正方体的体对角线长即为球O的直径，,令f(x)0得x2， 即函数f(x)在(2，)上单调递增，,思维升华,构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在
8、解题中的应用,跟踪演练4 已知三个互不重合的平面、，m，n，且直线m、n不重合，由下列三个条件：m，n；m，n；m，n. 能推得mn的条件是_,解析 构建长方体模型，如图， 观察选项特点，可优先判断条件： 取平面为平面ADDA，平面为平面 ABCD，则直线m为直线AD.,因为m，故可取平面为平面ABCD， 因为n且n，故可取直线n为直线AB. 则直线AD与直线AB为异面直线，故m与n不平行 对于：、取中平面，取平面为平面BCCB，可取直线n为直线BC，故可推得mn； 对于：，取中平面，取为平面ABCD，取直线n为直线BC，故可推得结论 答案 ,方法五 归纳推理法,做关于归纳推理的填空题的时候，
9、一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想,例5 (1)(2014陕西)观察分析下表中的数据：,猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_,解析 观察F，V，E的变化得FVE2.,FVE2,(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：,按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_,解析 观察题图，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴， 即构成首项为8，公差为6的等差数列， 所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n2.,6n2,
10、思维升华,归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系,跟踪演练5 观察下列各个等式： 131； 2335； 337911； 4313151719； 若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 016”这个数，则m_.,解析 某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和， 由于前4行的最后一个数分别为1120,5221,11322,19423， 所以m3的最后一个数为m2(m1)， 因为当m44时，m2(m1)1 979， 当m45时，m2(m1)2 069， 所以要使等式右边含有“2 016
11、”这个数，则m45. 答案 45,方法六 正反互推法,多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论,例6 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0,1)时，f(x)log2(x1)，给出下列命题：f(2 013)f(2 014)的值为0；函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；直线yx与函数f(x)的图象有1个交点；函数f(x)的值域为(1,1)其中正确的命题序号有_,解析 根据题意，可在
12、同一坐标系中画出直线yx和函数f(x)的图象如下：,根据图象可知f(2 013)f(2 014)0正确， 函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以不正确，,根据图象确实只有一个交点，所以正确， 根据图象，函数f(x)的值域是(1,1)，正确 答案 ,思维升华,正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断利用正反互推结合可以快速解决这类问题,跟踪演练6 给出以下命题：,设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)0.2
13、，则P(10)0.6；,根据线性回归方程的含义正确； P(1)0.2，可得P(1)0.2，,根据验证可知得到一般性的等式是正确的,答案 ,知识方法总结 六招拿下填空题： (一)直接法 (二)特例法 (三)数形结合法 (四)构造法 (五)归纳推理法 (六)正反互推法,选择题突破练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.已知集合Ax，xy，lg(xy)，B0，|x|，y，若AB，则x_，y_. 解析 由AB知需分多种情况进行讨论， 由lg(xy)有意义，则xy0. 又0BA，则必有lg(xy)0，即xy1. 此时，AB，即0,1，x0，|x|，y.,1,
14、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当xy1时， AB0,1,1与集合元素的互异性矛盾，应舍去； 当xy1时， AB0，1,1满足题意，故xy1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 g(x)f(x)m有两个零点等价于函数 f(x)与函数ym的图象有两个交点， 作出函数的图象如图，由图可知m的取值范 围是(1,2.,(1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x1x2x3x43(1234)426.,26,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_. 解析 点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当0x1时，f(x)0， 即函数f(x)在(0,1)上是增函数.,abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.观察下列不等式：, 照此规律，第五个不等式为_
