《（福建专用）2018版高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（福建专用）2018版高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教a版选修4-5（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式,1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种,a-b0,a-b0,a-b=0,具有多项式,2.综合法和分析法 (1)综合法 一般地，从_出发，利用_、公理、_、性质 等，经过一系列的_、_而得出命题成立，这种证明 方法叫做综合法.综合法又叫_或由因导果法.,已知条件,定义,定理,推理,论证,顺推证法,(2)分析法 证明命题时，从_出发，逐步寻求使它成立的_ _，直至所需条件为_或_(定 义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题 成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考 和证明方法.,要证的结论,已知条件,一个明
2、显成立的事实,充分,条件,3.反证法 (1)假设要证的命题_，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 _(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾 的结论，以说明假设不正确，从而证明_，我们把它 称为反证法. (2)证明步骤：反设归谬肯定原结论.,不成立,命题的条件,原命题成立,4.放缩法 (1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或 _，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法 称为放缩法. (2)理论依据ab,bca_c.,放大,缩小,5.数学归纳法 (1)数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正
3、整 数n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当_时命题成立； 假设当_时命题成立，证明_时命题 也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有 正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.,n=n0,n=k(kN+,且kn0),n=k+1,(2)数学归纳法的基本过程,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)若 则x+2yx-y.( ) (2)已知ab-1,则 ( ) (3)设 (ba0)，则st.( ) (4)证明 可用比较法证明.( ) (5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.( ),【解析】(1)错误.若x-yb-1,a+1b+10, (3)错误. b
4、a0,a-b0, (4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好 用分析法. (5)错误.数学归纳法中的第一步n的初始值不一定为1，如证明 n边形的内角和为(n-2)180,第1个值n0=3. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),考向 1 比较法证明不等式 【典例1】(1)设cba,证明：a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2. (2)当a,b(0,+)时，aabb 【思路点拨】(1)不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑 用作差法证明. (2)不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用作商比较法证明.,【规范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a)
5、 =a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2) =(c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c) =(b-a)(c-b)c+b-(b+a) =(b-a)(c-b)(c-a). cba,b-a0,c-b0,c-a0, ab2+bc2+ca2a2b+b2c+c2a, 即a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.,(2) 当a=b时， 当ab0时， 当ba0时， 综上可知，当a,b(0，+)时，aabb 成立.,【互动探究】在本例(2)的条件
6、下，证明 【证明】 当a=b时， 当ab0时， 当ba0时，,【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. (2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.,2.作商比较法 (1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论. (2)利用作商比较法时，要注意分母的符号. 【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也
7、常用作商比较法.,【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明(px+qy)2px2+qy2. 【证明】(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy p+q=1,p-1=-q,q-1=-p. 故(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy) =-pq(x-y)2. 由于p,q为正数，故-pq(x-y)20, 故(px+qy)2px2+qy2, 当且仅当x=y时，不等式中等号成立.,考向 2 综合法或分析法证明不等式 【典例2】(1)已知a,bR+,且a+b=1,求证： (2)已知x0,y0,求证 【思路点拨】(1)分析不等式
8、左边的特点结合已知条件，利用基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式. (2)待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明,可考虑用分析法证明.两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可.,【规范解答】(1)方法一：左边 =a2+b2+4+ =4+a2+b2+ =4+a2+b2+1+ =4+(a2+b2)+2+ 4+ 当且仅当a=b时，等号成立.即原不等式成立.,方法二：a，bR+，且a+b=1,ab 当且仅当a=b时，等号成立. (a+ )2+(b+ )2 =4+(a2+b2)+ =4+(a+b)2-2ab+,(2)要证明 只需证(x2+y2)3(x3+y3)2， 即
9、证x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6， 即证3x4y2+3x2y42x3y3, x0,y0,x2y20. 即证3x2+3y22xy,3x2+3y2x2+y22xy, 3x2+3y22xy成立，,【拓展提升】1.综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.,2.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，
10、它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,3.分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.,【变式训练】1.已知a,bR+,且a+b=1,求证： 【证明】方法一：a，b(0，+)，且a+b=1, ab 当且仅当a=b时，等号成立.,方法二：1-ab 当且
11、仅当a=b时，等号成立. (1-ab)2 (1-ab)2+1 又,方法三：,2.已知a0,b0,2ca+b,求证： 【证明】要证： 只需证： 只需证：|a-c|a2+ab. a0,只需证2ca+b,由题设，上式显然成立. 故,考向 3 用反证法或放缩法证明不等式 【典例3】若a3+b3=2，求证:a+b2. 【思路点拨】直接证明a+b2比较困难，可考虑从反面入手， 运用反证法，导出矛盾，从而证得结论. 【规范解答】方法一:假设a+b2, 而a2-ab+b2 但取等号的条件为a=b=0,显然不可能, a2-ab+b20.,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2), 而a
12、3+b3=2,故a2-ab+b21. 1+aba2+b22ab.从而ab1. a2+b21+ab2. (a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4. a+b2.这与假设矛盾，故a+b2.,方法二:假设a+b2，则a2-b, 故2=a3+b3(2-b)3+b3，即28-12b+6b2, 即(b-1)20，这不可能，从而a+b2. 方法三:假设a+b2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)6.故ab(a+b)2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2), a2-ab+b2ab,即(a-b)2
13、0, 这不可能，故a+b2.,【拓展提升】 1.适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题. (2)关于唯一性、存在性的命题. (3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题. (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.,2.使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：,3.放缩法证明不等式的技巧 放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系，即要证ab，只需先证明ap，且pb.其中p的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验.,【变式
14、训练】若n是大于1的自然数,求证: 【证明】,考向 4 数学归纳法的应用 【典例4】已知f(n)= 当n1,nN时，求证：f(2n) 【思路点拨】解答本题可先验证n=2时不等式成立，再假设 n=k时不等式成立，推出n=k+1时不等式成立.,【规范解答】(1)当n=2时，f(22)= 成立. (2)假设当n=k(kN且k2)时不等式成立， 即f(2k)= 成立. 则当n=k+1时，f(2k+1)= 即当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)知，对于任意的n1,nN,不等式成立.,【拓展提升】数学归纳法的应用 数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点： (
15、1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.,(2)递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.,(3)寻找递推关系 在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的. 探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置. 在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项要分清楚.,【变式训练】用数学归纳法证明：nN+时， 【证明】(1)当n=1时，左边= 等式成立. (2)假设n=k时， 成立. 当n=k+1时，,所以n=k+1时，等式成立. 根据(1)(2)可得对一切nN+,等式均成立.,
