《（文理通用）2018届高三数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和课件 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（文理通用）2018届高三数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和课件 （84页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 等差数列及其前n项和,【知识梳理】 1.等差数列的概念 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于 _,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等 差数列的_,一般用字母d表示;定义的表达式为: _ 2.等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A= .,同一个常数,公差,an+1-an=d(nN*).,3.等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_. 4.等差数列的前n项和公式,a1+(n-1)d,5.等差数列的性质 (1)等差数列的常用性质: 通项公式的推广:an=am+_(n,mN*); 若an是等差数列,且k
2、+l=m+n(k,l,m,nN*),则 _;k+l=2m_(k,l,mN*); 若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为_; 若an,bn是等差数列,则pan+qbn(nN*)是等差数列; 若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 _的等差数列.,(n-m)d,2d,md,ak+al=am+an,ak+al=2am,(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质: 若an是等差数列,则 也成等差数列,其首项与an的首 项相同,公差是an的公差的 ; Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm, S2m-Sm,_成等差数列;
3、 关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (i)若等差数列an的项数为2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, ,S3m-S2m,(ii)若等差数列an的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan, S奇-S偶=an, (其中S奇,S偶分别表示数列an中所有奇数项、偶数项的和); 两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为 数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差数列的 _条件; 等差数列的增减性:d0时为_数列,且当a10时前n项和Sn有最大值.,充分,递增,递减,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 若一个数列从
4、第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列; 数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有 2an+1=an+an+2; 等差数列an的单调性是由公差d决定的; 数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数; 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. 其中正确的命题是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列. 正确.如果数列an为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意nN*,都有2an+1=an+an+
5、2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根据定义数列an为等差数列. 正确.当d0时为递增数列;d=0时为常数列;d0时为递减数列. 错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有当d0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.,错误.根据等差数列的前n项和公式,Sn= 显然只有公差d0时才是关于n的常数项为0的 二次函数,否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时).,2.等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 ( ) A.1 B. C.2 D.3 【解析】选C.因为S3= =6,而a3
6、=4.所以a1=0,所以 d= =2.,3.若an为等差数列，Sn是其前n项的和，且 则 tan a6=( ) 【解析】选C.,4.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且a4=9,a9=-6,则Sn取最大 值时n的值为( ) A.6或7 B.7或8 C.5或6 D.8或9 【解析】选A.由 所以an=-3n+21,故a1a2 a3a6a7=0a8,所以S6=S7最大.,5.在等差数列an中,Sn表示其前n项和,若Sn= ,Sm= (mn), 则Sm+n-4的符号是( ) A.正 B.负 C.非负 D.非正 【解析】选A.因为Sn=na1+ d= (1), Sm=ma1+ d= (2), 所以由
7、(1)(2)得d= ,a1= . 故Sm+n-4=(m+n)a1+ d-4 = 0(mn).,6.(2013上海高考)在等差数列an中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3= . 【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30a2+a3=15. 答案:15,考点1 等差数列的基本运算 【典例1】(1)(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)(2014南京模拟)等差数列an的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. 求通项an;若Sn=242,求n.,【解题视点】(1)利用
8、等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差,再利用通项公式求出a9. (2)先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;利用前n项和公式解方程即可.,【规范解答】(1)选A.由S8=4a38a1+ d=4(a1+2d);由 a7=-2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2, 所以a9=a1+8d=10-16=-6. (2)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10; 由Sn=na1+ d,Sn=242, 得方程12n+ 2=242, 解得n=11或n=-22(舍去).,【互动探究】本例(1)中,已知条件不变,求Sn
9、. 【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以 Sn=na1+ d=10n-n(n-1)=-n2+11n.,【规律方法】 1.等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.,2.等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知条件选用两个求和公式,如已知首项和公差,则 使用公式Sn=na1+ d,若已知通项公式,则使用公式 Sn= .,【变式训练】1.(2013新课标全国
10、卷)设等差数列an的前 n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因 为数列an为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为 Sm= =0,所以m(a1+2)=0,因为m0,所以a1=-2,又 am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,方法二:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1- Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn= 得 由得a1= ,代入可得m=5.,方法三:因为数列an
11、为等差数列,且前n项和为Sn, 所以数列 也为等差数列. 所以 即 =0, 解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.,2.(2014温州模拟)等差数列an的首项为a1,公差d=-1,前n项和为Sn. (1)若S5=-5,求a1的值. (2)若Snan对任意正整数n均成立,求a1的取值范围.,【解析】(1)由条件得,S5=5a1+ d=-5, 解得a1=1. (2)由Snan,代入得na1- a1+1-n, 整理,变量分离得:(n-1)a1 n2- n+1 = (n-1)(n-2), 当n=1时,上式成立. 当n1,nN*时,a1 (n-2), n=2时, (n-2)取到最小值0, 所以a10.
12、,【加固训练】 1.(2014襄阳模拟)在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=90, 则a10- a14的值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18 【解析】选A.由等差数列的通项公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10- a14=a1+9d- (a1+13d)= (a1+7d)= 18=12,故选A.,2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和Sn满足S5S6+15=0. (1)若S5=5,求S6及a1. (2)求d的取值范围.,【解析】(1)由题意知S6= =-3,a6=S6-S5=
13、-8, 所以 解得a1=7,所以S6=-3,a1=7. (2)方法一:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 因为关于a1的一元二次方程有解, 所以=81d2-8(10d2+1)=d2-80, 解得d-2 或d2 .,故d的取值范围为 方法二:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28. 故d的取值范围为,考点2 等差数列的判定与证明 【典例2】(1)若an是公差为1的等差数列,则a2n-1+2a2
14、n是 ( ) A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列,(2)已知数列an中,a1= ,an=2- (n2,nN*),数列bn 满足bn= (nN*). 求证:数列bn是等差数列; 求数列an中的最大项和最小项,并说明理由.,【解题视点】(1)构造新数列cn,使得cn=a2n-1+2a2n,根据 cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断. (2)证明bn+1-bn=常数;根据的结论,求得bn的通项公式,再求得an的通项公式,结合单调性求解.,【规范解答】(1)选C.设an的公差为d,则d=1.设cn=a2n-1+2a2n,
15、则cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故 选C. (2)因为an=2- (n2,nN*),bn= (nN*), 所以bn+1-bn= 又b1= 所以数列bn是以 为首项,1为公差的等差数列.,由知bn=n- ,则an= 设f(x)=1+ ,则f(x)在区间 和 上为减函数. 所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.,【易错警示】用定义证明等差数列时的易错点 用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和 an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2”,否则 n=1时,a0无定义.,【规律方法】等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-a
