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1、20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 1 第一讲 计算模块考点 一、基本运算 1. 分数和小数混合运算时，通常加减法时用小数算简便（前提是可以分数可以 化成有限小数） ，乘除法时用分数计算较为方便。 2. 对于如 1 54.6 3 这种分小混合运算，可以直接约分，得 18.2；带分数做加减法 时不用化成假分数去计算，如 42 32 75 化假分数算将会非常复杂。 3. 在基本运算中合理运用交换律和分配率去凑整，减少计算量。 二、提取公因数 提取公因数有这样几种常见形式：提取公因数有这样几种常见形式： 直接提取直接提取： 如例题 1 的第 2、5、6 问 分小
2、互化再提取分小互化再提取： 如例题 2 小数点移位小数点移位： 如家庭作业第 2 题 分拆分拆： 如 2 2 3.146.86 13.14 3.146.86 3.146.86 10 3.14 (3.146.86)6.86 10 10 10100 分解质因数分解质因数： 如 18 3436 33 18 34 18 2 33 18 (3466) 1800 式子整体作公因数式子整体作公因数： 如 1 2 32 4 63 6 9. 100 200 300 2 3 44 6 86 9 12.200 300 400 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 2 三、繁分数
3、对于如例题 3 的一层繁分数，先计算出分子，再算出分母，用分子除以分母计 算. 对于多层繁分数，从下往上计算。 四、数列 等差数列： 1 1 234.(1) 2 nnn 正方形数列： 2 1 3 57 .21nn 等比数列： 1 24 8 . 512 10242 1024 12047 1111111023 .2 2481024210241024 乘方数列： 22222 1 1234.(1)(21) 6 nn nn 33332 123.(1 23 .)nn 【注意】乘方数列公式一定是从【注意】乘方数列公式一定是从 1 开始，若不是，可考虑补成从开始，若不是，可考虑补成从 1 开始，再减开始，再减
4、 去补的。去补的。 五、裂项 1、裂差、裂差 11ba a bab 特征：特征：一般用于式子各项之间均为加号；分母首尾相连，通常成等差数列形式 延伸；分子基本相等，均可凑成分母的“尾首”后，方可直接裂成“ 11 首尾 ” 如例题 6. 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 3 2、裂和、裂和 11ab a bab 特征：特征：抵消抵消:一般用于原式中各项之间有加号有减号，加减交替出现，各项的 分子通常不等。凑整凑整:一般用于 10 个以内的分数加法（一定是有限个，没有省 略号） 。通常前面几个是分母较小的如 2、3、4、5、7、8 的小型分数，后面分 数的分
5、母通常是前面两种分母的乘积，可以裂成那两种分母的分数之和。 六、连锁约分与整体约分 对于很多个分数相乘，通常即是连锁约分。 整体约分即把式子当成整体提取，再约分。 参考提高班学案参考提高班学案 1 七、循环小数 1、循环小数的读写 2、循环小数化分数 纯循环小数：循环节有几位，分母就有几个 9，循环节为分子。 混循环小数：循环节有几位，分母就有几个 9，非循环节有几位，就在刚写的 9 后面添几个零；分子为整体减去非循环节。 3、循环小数的计算： 把循环小数化分数，用分数计算. 【注意】不要急着约分（对于加减法，最后还需要通分通成初始的分母） ，一步 只做一件事。 20132013 年学而思培优
6、六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 4 八、分数比较大小 方法： 通分母通分母（做差、做商、十字交叉） 括号内的和通分母本质一样. 通分子通分子 分子相同时，分母越大，分数越小. 当分母最小公倍数很大时，而分子的最小公倍数较小时，可以通分子.如比较 89 12 18 24 , 11 13 17 25 35的大小关系. 化小数比较化小数比较 糖水原理糖水原理 （1）若0 1, b a 则 bbm aam （2）若01, bd ac 则 bbdd aacc 【注】1、糖水原理只适合于真分数. 2、使用糖水原理必须是同一杯水，即分子与分母的差要相同 先通分子与分母的差，再用糖水原理先通分子与
7、分母的差，再用糖水原理 九、定义新运算 根据题意，对应代入即可。 已知规则，求结果. 直接根据对应规则代入即可. 已知结果，找规则. 同样把对应的式子代入，解方程，得出具体规则. 已知规则，根据式子求未知数. 如课后演练 6，代入逐步求未知数. 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 5 第二讲 平面几何之等高模型 一、等高模型： 三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 把上述 3 个结论量化，即得： 底等高的两个三角形面积相等； 两个
8、三角形底相等（高不等），面积比等于它们的高之比； 两个三角形高相等（底不等），面积比等于它们的底之比两个三角形高相等（底不等），面积比等于它们的底之比； 【注】判断等高模型即找到线段上 3 个点，看 3 点是否汇聚于同一点，是则构 成等高模型。不是可以适当添加辅助线构造等高模型。 【Tips】对于题目中给出边长比例，我们可找等高模型，去寻求面积关系；对 于题目给出诸多面积，我们根据面积寻找底边之比。 二、等积变形 两平行线之间夹的同底三角形面积相等，它们等底等高。 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 6 O AB DC 底边不动时，顶点可以在平行线上任意拖
9、动，面积不变。 对于梯形 ABCD，AB 和 CD 平行，则 ACDBCD SS ，去 掉公共三角形 CDO， 得到两腰的三角形 ADOBCO SS . 【注】对于两个正方形并排放求面积的情况，连接对角线，找平行关系.再把阴 影部分图形中在平行线上的线段做底边，在另一条平行线上的点则可平移，进 行面积转换. 三、一半模型 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 7 第三讲 数论模块总结（一） 一、位值原理 在十进制表示中，每个数位都表示这不同的数值，如千位上的数字表示多少个 千，百位上表示有多少个百，这就叫位值原理。 32 101010abcdabcd 二、整
10、除性质 可加减性：可加减性：若| ,| ,c a c b 则|,c ab 可乘性：可乘性： 若| ,| ,c a d b 则|cd ab 传递性：传递性： 若| , | ,c b b a 则| ,c a 互质性：互质性： 若| ,| ,c a d b且( , )1c d ，则|cd a 三、整除特征 尾数系（尾数系（2、5 家族家族） ： 1）除以 2、5，看末位除以 2 或 5 2）除以 4、25，看末两位除以 4 或 25 3）除以 8、125，看末三位除以 8 或 125 和系（和系（3、9 家族家族） ： 1）除以 3、9，看个位数字之和（一位一截）除以 9 2）除以 99，右手起，两
11、位一截，各数段之和除以 99 3）除以 999，右手起，三位一截，各数段之和除以 999 差系（差系（7、11 和和 13 家族家族） ： 右手起，三位一截，奇数段之和减去偶数段之和，差值分别除以 7、11、 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 8 （不够减的补上对应除数的倍数！ ） 其中除以 11，还可以右手起，以为一截，奇数位之和减去偶数为之和，差值 除以 11（不够减补上 11 的倍数！ ） 以上以上 3 个家族中，若能除尽，则可被除数整除，若除不尽，则上述内容中末几个家族中，若能除尽，则可被除数整除，若除不尽，则上述内容中末几 位或者数字（段）之和
12、或者差除以各自对应除数得到的余数即为原数除以该数位或者数字（段）之和或者差除以各自对应除数得到的余数即为原数除以该数 的余数。的余数。 四、完全平方数性质 1、完全平方数的末位完全平方数的末位只能为 0、1、4、5、6、9. 2、完全平方数的余数性质完全平方数的余数性质： 除以 3 的余数为 0 或 1. 除以 4 的余数为 0 或 1. 除以 5 余数为 0、1 或 4. 除以 8 的余数为 0、1 或 4. 除以 16 的余数为 0、1、4 或 9. 3、在两个相邻完全平方数之间无平方数在两个相邻完全平方数之间无平方数，即若 22 (1)nAn，则A不是完全 平方数. 4、偶指奇因：偶指奇
13、因：完全平方数分解质因数后，指数一定为偶数；完全平方数有奇数 个因数. 5、完全平方数若是某个质数的倍数，则一定为该质数平方的倍数完全平方数若是某个质数的倍数，则一定为该质数平方的倍数. 6、完全平方数个位是个位是 6，则十位一定为奇数；若十位是奇数十位是奇数，则个位一定是 6； 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页 9 若个位是奇数个位是奇数，则十位一定为偶数. 7、完全平方数个位是 0，则有偶数个 0；个位是 5，则十位一定是 2，百位为 0、 2 或 6. 五、带余除法 形如abqr的式子即是带余除法，a 为被除数，b 为除数，q 为商，r 为 余数.
14、 其中特别容易犯错的两点是： rb，余数小于除数. abqr，求被除数时一定要把余数加上. 六、余数的性质 余数具有可加性、可减性、可乘性可加性、可减性、可乘性，不可除。 同余：若 a 除以 m 和 b 除以 m 所得的余数相同，则记(mod)abm，读作 a 和 b 关于 m 同余. 若有(mod)abm（其中 ab），则 |m ab . 如对于例 8，三个吉利数除以具体的数余数不同，我们则利用余数可减性转化成 余数相同的情况，再利用同余性质，求出两组差，找最大公因数. 【注】同余求出最大公因数后，一般得到多解，必须要每个都试验才可确定此 解是否合适. 20132013 年学而思培优六年级寒
15、假年学而思培优六年级寒假班班 页页 10 第四讲 计数模块之枚举法 一、枚举法 枚举即是把所有情况列举出来。为了保证不遗漏、不重复，通常我们需要分类 和有序枚举，以保证不遗漏、不重复。 如：7、8、9 共可以组成多少个不同的数？ 分一位数，两位数，三位数三类，每类再按照大小顺序有序枚举. 二、几何计数 和枚举法密切联系，如例题 7、例题 8，均可先分类，再在每一类中有序枚举， 最后把所有情况数加起来即可. 几何计数，需要同学们细心和耐心。 三、树形图和列表法 借助树状解构的分层特征枚举所有可能的方法，适用于层次解构鲜明的题，如 例题 4 和提高班学案 2. 但当过程次数较多时，树形图将不太适合，如把例题 4 的滚动 4 次改为滚动 10 次，但列表避免了把每条线都画出来，只需用数字表示即可. 四、标数法 一般来说，标数法适用于求从 A 到 B 的最短路径的条数. 标数法的核心标数法的核心：从一点到另一点最短路径只有两个方向，从起点到任何一点的 最短线路数，都等于从起点出发到的两个方向中与这一点相邻的点的最短线路 数之和。 20132013 年学而思培优六年级寒假年学而思培优六年级寒假班班 页页
