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1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修1,集合与函数的概念,第一章,1.3 函数的基本性质,第一章,1.3.1 单调性与最大(小)值,第一课时 函数的单调性,德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线如下图：,这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”通过这条曲线能说明什么数学问题呢？,1.增函数和减
2、函数,任意,上升,下降,2单调性 (1)定义：如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的_ (2)图象特征：函数yf(x)在区间D上具有单调性，则函数yf(x)在区间D上的图象是上升的或下降的,增函数,减函数,单调区间,归纳总结 基本初等函数的单调区间如下表所示：,答案 B 解析 因为函数yf(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B.,答案 B 解析 分别画出各个函数的图象，在(0,2)上上升的图象只有B.,答案 D,答案 C 解析 根据单调性的定义可知，A、B、D均使x与y同号，故选C.,解析 不能显然
3、x11，x21时，满足x1y2不成立,利用图象求函数的单调区间,思路分析 (1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？ 解析 函数的单调增区间为1.5,3)、5,6)，单调减区间为4，1.5)、3,5)、6,7 规律总结 函数单调区间的求法及表示方法 (1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求,解析 由图象(1)知此函数的增区间为(，2，4，)，减区间为2,4 由图象(2)知，此函数的增区间为(，1、1，)，减区间
4、为1,0)、(0,1.,用定义证明函数的单调性,规律总结 函数单调性的证明方法 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：,求函数的单调区间,思路分析 (1)求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？ (2)求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？ (3)求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？,规律总结 求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解 方示二：图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区间 (2)三个关注
5、点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接,函数图象如图所示 函数在(，1，0,1上是增函数； 函数在1,0，1，)上是减函数 所以函数的单调增区间是(，1和0,1，单调减区间是1,0和1，),函数单调性的简单应用,点评 本题易出现不能正确判断对称轴与直线x4的位置关系而致错 规律总结 函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断，证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，
6、可以确定函数中参数的范围,(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组) (3)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的,正解 因为函数f(x)的单调递减区间为(，2，且函数f(x)的图象的对称轴为直线xa，所以有a2，即a2. 规律总结 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义,答案 C 解析 结合图象分析可知，函数图象在区间3,1是上升的，故其增区间是3,1,答案 B 解析 由二次函数f(x)82xx2(x1)29的图象知B对，故选B.,
