《2018届高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题二函数导数不等式1.2.4导数的简单应用及定积分课件理新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题二函数导数不等式1.2.4导数的简单应用及定积分课件理新人教版（115页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 导数的简单应用及定积分,【知识回顾】 1.基本初等函数的八个导数公式,0,x-1,cosx,-sinx,axlna,ex,2.导数的四则运算法则 f(x)g(x)=_; f(x)g(x)=_; =_(g(x)0). 若y=f()，=ax+b，则yx=_， 即yx=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),yx,ya,3.函数的单调性与导数的关系 f(x)0f(x)为_; f(x)0f(x)为_; f(x)=0f(x)为常数函数.,增函数,减函数,4.导数与极值的关系 若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取 得极值的_条件.,必要而不充分,5.积分的性质 kf
2、(x)dx= _(k为常数)； f1(x)f2(x)dx=_； _= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb).,k f(x)dx,f1(x)dx f2(x)dx,f(x)dx,【易错提醒】 1.忽略条件致误:求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.,2.忽略函数的定义域:在研究函数的单调性、极值、最值时,一定要注意函数的定义域优先原则,否则容易出现多考虑问题而出错或不能求解等情况. 3.忽略导函数与该函数极值间的关系致误:在求解与函数极值有关的问题时,忽略导函数与该函数极值之间的关系,造成错解或无从入手.,【考题回访】 1.(201
3、4全国卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是 ( ),【解析】选D.因为f(x)=kx-lnx在区间(1,+)单调递 增,所以f(x)=k- 0在(1,+)恒成立且在它的任 何子区间内不恒等于零,即k10.,2.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x) =ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是_.,【解析】设x0,则-x0,因为x0时 = +3x,所 以 =lnx-3x,又因为 为偶函数,所以 =lnx- 3x, =1-3=-2,所以切线方程为y+3= ,即2x+y+1=0. 答案:2x+y+1=0,3.(2
4、015全国卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=_.,【解析】因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点(1,f(1)处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7= (3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为(1,f(1), 所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2, 所以-3a+6=a+2,解得a=1. 答案:1,热点考向一 导数与定积分的几何意义 命题解读：主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，或由切线方程求参数值，考查定积分的简单运算或利用定积分求图形的面积，以选择题、填空题
5、为主，有时也会在解答题的第一问出现.,【典例1】(1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是_. (2)(2015全国卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=_.,(3) 展开式的中间项系数为20，如图阴影部分 是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封 闭图形的面积S=_.,【解题导引】(1)先求出当x0时f(x)的解析式,再利用导数求切线方程. (2)先对函数y=x+lnx求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定
6、切线方程,再将切线方程与曲线y=ax2+(a+2)x+1联立,利用=0求出a的值.,(3)先利用二项式定理得到中间项系数，解得a，再利用定积分求阴影部分的面积.,【规范解答】(1)设x0,则-x0,因为x0时 =e-x-1 -x,所以 =ex-1+x,又因为 为偶函数,所以 =ex-1+x, =ex-1+1, =e1-1+1=2,所以切线方程为 y-2=2(x-1),即2x-y=0. 答案:2x-y=0,(2)y=1+ ,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率 为k= =1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与 曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax
7、+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8. 答案:8,(3)因为 展开式的中间项系数为20，中间项 为第四项，系数为 =20，解得a=2， 所以曲线y=x2和圆x2+y2=2在第一象限的交点为(1，1)， 所以阴影部分的面积为 答案：,【规律方法】 1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程: 求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程.,(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.,(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的
8、切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.,2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.,3.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.,(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积
9、分上、下限必须对应y的取值.,【题组过关】 1.(2016衡阳一模)计算： cos2xdx=_.,2.已知函数f(x)=- x2+(a+1)x+(1-a)lnx，aR. (1)当a=3时，求曲线C：y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程.,(2)当x1，2时，若曲线C：y=f(x)上的点(x，y)都 在不等式组 所表示的平面区域内，试求a的 取值范围.,【解析】(1)当a=3时，f(x)=- x2+4x-2lnx，x0， f(x)=-x+4- . 则f(1)=-1+4-2=1，而f(1)=- +4= . 所以曲线C在点(1，f(1)处的切线方程为y- =x-1， 即2x-2y+5=0.,(
10、2)依题意当x1，2时，曲线C上的点(x，y)都在不 等式组 所表示的平面区域内，等价于当1x2时，,xf(x)x+ 恒成立. 设g(x)=f(x)-x=- x2+ax+(1-a)lnx，x1，2. 所以g(x)=-x+a+,当a-11时，即a2，当x1，2时，g(x)0，g(x)为单调减函数， 所以g(2)g(x)g(1)，依题意应有,若1 ， 所以不合题意. 当a-12，即a3时，注意到g(1)=a- ， 显然不合题意.综上所述，1a2.,【加固训练】 1.(2016揭阳二模)已知函数f(x)=x2-ax的图象在点 A(1,f(1)处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,记数列 的前n项和为
11、Sn,则S2016的值为 ( ),【解析】选B.由题意知f(x)=x2-ax的图象在点A(1, f(1)处的切线斜率k=f(1)=2-a=3a=-1,故,2.(2016亳州一模)已知函数f(x)=axlnx,aR,若f(e)=3,则a的值为_.,【解析】f(x)=a(1+lnx),aR,f(e)=3, 所以a(1+lne)=3,所以a= . 答案:,3.(2016长沙二模)曲线y=e-x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形的面积为_.,【解析】函数的导数f(x)=-e-x，则f(0)=-1，则 切线方程为y-2=-x，即y=-x+2， 切线与x轴的交点为(2，0)，与y轴
12、的交点为(0，2)， 所以切线与直线y=0和x=0围成的三角形的面积 S= 22=2. 答案：2,热点考向二 利用导数研究函数的单调性 命题解读:主要考查导函数值与函数单调性之间的关系,利用导函数来研究函数的单调性,或由函数的单调性求某参数值(或取值范围),三种题型都有可能出现.,命题角度一 确定函数的单调性(区间) 【典例2】(2016洛阳一模)已知函数f(x)= ,其中常数k0, (1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.,(2)若k4,+),曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1, y1),N(x2,y2)使得曲线y=f(x)在M,N两点处切线互相平行,求x1+x2的取值范围.,【解题
13、导引】(1)求导函数,对k分类讨论,利用导数的正负,即可得到f(x)在区间(0,2)上的单调性. (2)利用过M,N点的切线互相平行,建立方程,结合基本不等式,再求最值,即可求x1+x2的取值范围.,【规范解答】(1)因为f(x)= 当0k0,且 2, 所以x(0,k)时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;,当k=2时, =k=2,f(x)2时,0 , 所以x(0, )时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0, )上是减函数,在( ,2)上是增函 数;,(2)由题意,可得f(x1)=f(x2)(x1,x20,且x1x2),令g(k)=k+ 则g(k)
14、= 0对k4,+)恒成立, 所以g(k)g(4)=5,所以 所以x1+x2 ,故x1+x2的取值范围为（ ,+).,【易错警示】解答本例容易出现以下错误: (1)忽略函数的定义域,在函数解析式中含有对数必须满足x0. (2)对k分类讨论不全,题目中已知k0,对k分类讨论时容易对标准划分不准确,讨论不全面.,【母题变式】1.若把典例2条件变为“k0”,其他条件不变,f(x)在(0,2)上的单调性如何?,【解析】由典例2(1)解析知f(x)= 在(0,2)上f(x)0,故f(x)在(0,2)上为减函数.,2.在典例2(1)中,将(0,2)改为(0,+),试求f(x)的单调区间.,【解析】由典例2(
15、1)解析知f(x)= 因为 当0k2时,k ,f(x)的单调减区间为 增区间为,当k=2时,k= =2,f(x)2时,k ,f(x)的减区间为 增区间 为,命题角度二 根据函数的单调性求参数的取值范围 【典例3】(2016玉溪三模)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是 ( ),【解题导引】由题意可得f(x)0即3x2-2tx+30在1,4上恒成立,由函数的性质可得t的取值范围.,【规范解答】选C.因为函数f(x)=x3-tx2+3x, 所以f(x)=3x2-2tx+3, 若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减, 则f(x)0,即3x2-2tx+30在1,4上恒成立, 即2tx3x2+3在1,4上恒成
