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1、考点规范练14导数的概念及运算考点规范练B册第8页基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则limx0f(1-x)-f(1)x的值为()A.-13B.13C.23D.0答案A解析limx0f(1-x)-f(1)x=-limx0f(1-x)-f(1)-x=-f(1)=-131-23=-13.2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e答案C解析由题意可得y=ln x的定义域为(0,+),且y=1x.设切点为(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率
2、为1e.3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3答案C解析令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,f(x)=4x-1,f(1)=1,f(1)=3,所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),
3、g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f(3)=-13.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3).又由题图可知f(3)=1,g(3)=1+3-13=0.5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)答案C解析f(x)=x3-x+3,f(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3
4、)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()A.-8B.-6C.-1D.5答案A解析由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.y=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),k=3+a,即1=3+a,a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,即ab=(-2)3=-8.故选A.7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质
5、.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2).若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项,f(x)=cos x,显然k1k2=cos x1cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f(x)=1x(x0),显然k1k2=1x11x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f(x)=ex0,显然k1k2=ex1ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f(x)=3x20,显然k1k2
6、=3x123x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于()A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或7答案A解析因为y=x3,所以y=3x2.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;当x0=32时,由y=274x-274与y
7、=ax2+154x-9相切,可得a=-1.9.(2018全国,理14)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析设f(x)=(ax+1)ex,f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f(0)=a+1=-2,a=-3.10.已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则ab=.答案-12e解析对函数f(x)=xex求导可得f(x)=xex+x(ex)=ex(x+1),则函数f(x)=xex在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f(1)=e1(1+1)=2e
8、.又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有ab=-12e.11.函数f(x)=ln(2x+3)-2x2x的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.答案12解析f(x)=22x+3-4xx-ln(2x+3)-2x2x2=2x2x+3-ln(2x+3)-2x2x2,f(-1)=-4.切线方程为y=-4x-2.切线在x轴、y轴上的截距分别为-12,-2.所求三角形的面积为12.12.若函数f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案2,+)解析f(x)=12x2-ax+ln x,f(x)=x-a+1x.f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存
9、在零点,x+1x-a=0有解,a=x+1x2(x0).能力提升13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是()答案D解析由y=f(x)的图象知y=f(x)在(0,+)内单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+)内也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.2C.22D.3答案B解析因为定义域为(0,+
10、),所以y=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=2.故所求的最小值为2.15.(2018安徽六安模拟)给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导函数,f(x)是函数f(x)的导函数,若方程 f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是M(x0,f(x0),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上答案B解析由题意,知f(x)=3+4cos x+sin x,f(x)
11、=-4sin x+cos x,由f(x0)=0,知-4sin x0+cos x0=0,即4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0+4sin x0-cos x0=3x0,即点M(x0,3x0),显然在直线y=3x上,故选B.16.(2018甘肃天水月考)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为.答案4解析由导数的几何意义及条件,得g(1)=2.函数f(x)=g(x)+x2.f(x)=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=4,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为4.
12、17.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0)处的切线方程是.答案x-y+4=0解析f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.f(x)=ex+e-x+2x2+22,g(x)=e-x-ex2.h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2=32ex+12e-x+2x2+2.h(x)=32ex-12e-x+4x,即h(0)=32-12=1.又h(0)=4,切线方程为x-y+4=0.高考预测18.若函数f(x)=ln x-f(1)x2+5x-4,则f12=.答案5解析f(x)=1x-2f(1)x+5,f(1)=1-2f(1)+5,解得f(1)=2,f12=2-2+5=5.
