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1、最新考纲 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理.4.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；5.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.,知 识 梳 理,1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 . (2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的 成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 成比例.,平行线,相等,对应线
2、段,对应线段,2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 两角对应 的两个三角形相似. 两边对应 并且夹角 的两个三角形相似. 三边对应 的两个三角形相似. (2)相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 . 相似三角形周长的比等于 . 相似三角形面积的比等于 .,相等,成比例,相等,成比例,相似比,相似比,相似比的平方,3.直角三角形的射影定理,两直角边,斜边,斜边,ADBD,ADAB,BDAB,4.圆中的角 (1)圆周角定理及其推论 定理：圆上一条弧所对的 等于它所对的 的一半. 推论：()推论1：同弧或等弧所对的 相等；同圆或等圆中，相
3、等的圆周角所对的 也相等. ()推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 . (3)弦切角定理：弦切角等于它 所对的圆周角.,圆周角,圆周角,圆心角,弧,直角,直径,它所对弧的度数,所夹的弧,5.圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线 经过 的半径. (2)推论： 推论1：经过 且垂直于切线的直线必经过 . 推论2：经过 且垂直于切线的直线必经过 .,垂直于,切点,圆心,切点,切点,圆心,6.圆中的切线、割线,PCPD,BDP,PCPD,PDB,PBPC,PCA,PB,OPB,7.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四
4、边形的性质定理 定理1：圆内接四边形的对角 . 定理2：圆内接四边形的外角等于它的 . (2)圆内接四边形的判定定理及推论 判定定理：如果一个四边形的对角 ，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 ，那么这个四边形的四个顶点共圆.,互补,内对角,互补,对角,诊 断 自 测,A,3.(2015重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD 相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的 延长线交于点P，若PA6，AE9， PC3，CEED21，则BE_.,答案 2,4.如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35，则D_.,解析 连接BD，由题意知，A
5、DBMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125.,答案 125,答案 8,考点一 相似三角形的判定及性质 【例1】 如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED、CB的延长线交于一点F. 求证：FD2FBFC.,规律方法 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边.证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题. (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等.,解 (1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30， 由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF30， 由DCAACBBCF180，又AC
6、B90，,图1,知DCA60，故在RtADC中，DAC30.,(2)法一 连接BE，如图1所示，由(1)知EAB60CBA，AB为公共边，则RtABERtBAC，所以AEBC3.,图2,法二 连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理，知DCECAE30，又DCA60，故ECA30， 又因为CAB30，故ECACAB，从而ECAO， 由OCl，ADl，可得OCAE，故四边形AOCE是平行四边形， 又因为OAOC，故四边形AOCE是菱形，故AEAOBC3.,规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线
7、问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角.,(1)证明 由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角.所以AEBACD. 故ABEADC.,考点三 与圆有关的比例线段 【例3】 (2014新课标全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E. 证明：(1)BEEC； (2)ADDE2PB2.,(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB，由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB2.,规律方法
8、 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.,(2)解 由(1)得A、P、O、M四点共圆， 所以OAMOPM，由(1)得OPAP， 因为圆心O在PAC的内部，所以OPMAPM90， 所以OAMAPM90.,规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那
9、么这个四边形的四个顶点共圆.,【训练4】 如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF. 求证：(1)B，D，H，E四点共圆； (2)EC平分DEF.,证明 (1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD，CE是角平分线， 所以HACHCA60，故AHC120， 于是EHDAHC120.因为BEHD180， 所以B，D，H，E四点共圆.,(2)连接BH，则BH为ABC的角平分线，HBD30， 由(1)知B，D，H，E四点共圆， 所以CEDHBD30， 因为AEAF，AD为角平分线，所以EFAD， 又AHEEBD60， 所以CEF30，所以E
10、C平分DEF.,思想方法 1.解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决. 2.证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明. 3.弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.,4.圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件. 易错防范 1.在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例. 2.在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错. 3.证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换.,
