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1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,4.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化与化归思想.,1.下列命题:若直线l垂直于平面内的两条直线,则l;若直线l垂直于平面内的无数条直线,则l;若直线 l垂直于平面内的任意一条直线,则l;若l,则直线l垂直于平面内的无数条直线,其中真命题的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 1.C 【解析】都要求平面内的直线相交,所以均错误;由线面垂直的定义可知正确. 2.如果一条直线l与平面的一条垂线垂直,那么直线l与平面的位置关系是( ) A.l B.l C.l D.l或l 2.D 3.二面角是指( ) A.两个平面相交的图形 B.一个平面绕这个平面
2、内一条直线旋转而成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D.以两个相交平面交线上任意一点为端点,在两个平面内分别引垂直于交线的射线,这两条射线所成的角 3.C,4.不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ( ) A.两个平面相交,所成二面角是直二面角. B.一个平面经过另一个平面的一条垂线. C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线. D.平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的. 4.D 5.(2015浙江新阵地教育研究联盟联考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面, 则下列四个命题中正确的是( ) A.,m,n,则mn B.mn,m,n,则 C.,m,n,则mn D.,m,n,
3、则mn 5.B 【解析】若,m,n,则m,n可能平行、相交或异面,所以A不正确;由线面垂直 的性质和面面垂直的判定可知B正确;若,m,n,则mn,C不正确;若,m, n,则m,n可能平行、相交或异面,所以D不正确.,6.如图,P是正方形ABCD所在平面外的一点,PA=AB,且PA平面ABCD,则在PAB,PBC,PCD,PAD, PAC及PBD中,直角三角形有 个.,6.5 【解析】因为PA平面ABCD,所以PAB,PAD,PAC是直角三角形;又BCPAB,则PBC是直角三角形;CD平面PAD,则PCD是直角三角形;设BD,AC交于点O,则POAO=BO,则可证PBD不是直角三角形,故有5个直
4、角三角形.,典例1 (1)(2015安徽高考)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若,垂直于同一平面,则与平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 【解题思路】A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;B中,平行于同一个平面 的两条直线可以平行、相交或异面,故B错误;C中,两个平面相交时,其中的一个平面内的直线只要平行于 交线时就一定和另外一个平面平行,故C错误;D中,反面思考可知,如果两条直线垂直于同一个平面,则这两 条直线平行,若两条直
5、线不平行,则它们不可能垂直于同一平面,D正确. 【参考答案】 D,(2)(2015福州质检)“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是 ( ) A.直线l与平面内的任意一条直线垂直 B.过直线l的任意一个平面与平面垂直 C.存在平行于直线l的直线与平面垂直 D.经过直线l的某一个平面与平面垂直 【解题思路】利用空间直线与平面位置关系的概念、判定定理和性质定理、结论等逐一判断.A,B,C均 为充要条件,因为“直线l垂直于平面”可以推出“经过直线l的某一个平面与平面垂直”,反之未必成立, 故D选项正确. 【参考答案】 D,【变式训练】 (2015金华十校模拟)若m,n是两条不同的直线,是三个不同的
6、平面, 则下列命题中为真命题的是( ) A.若m,则m B.若=m,=n,mn,则 C.若m,m,则 D.若,则 C 【解析】若m,则m,位置关系不确定,可能平行、相交或m在平面上,A错误; 若=m,=n,mn,则或,相交,B错误;由线面平行的性质定理和面面垂直的 判定定理可得C正确;若,则,可能平行或相交,D错误.,典例2 (2016吉林实验中学四模)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,ABBB1,AC=BC= BB1=2,D为AB的中点,且CDDA1. (1)求证:BB1平面ABC; (2)求证:BC1平面CA1D; (3)求三棱锥B1-A1DC的体积.,【解题思路】利用线
7、面垂直的判定定理和平行线的性质证明.,【变式训练】 (2015常州监测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,平面PBD平面ABCD,PB=PD, PAPC,CDPC,O,M分别是BD,PC的中点,连接OM. 求证:(1)OM平面PAD; (2)OM平面PCD.,【解析】(1)连接AC, 因为ABCD是平行四边形,所以O为AC的中点. 在PAC中,因为O,M分别是AC,PC的中点, 所以OMPA. 因为OM平面PAD,PA平面PAD, 所以OM平面PAD.,(2)连接PO,因为O是BD的中点,PB=PD,所以POBD. 又因为平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD,
8、PO平面PBD, 所以PO平面ABCD. 从而POCD. 又因为CDPC,PCPO=P,PC平面PAC,PO平面PAC, 所以CD平面PAC. 因为OM平面PAC,所以CDOM. 因为PAPC,OMPA,所以OMPC. 又因为CD平面PCD,PC平面PCD,CDPC=C, 所以OM平面PCD.,命题角度2:直线与平面垂直的性质定理的应用 典例3 已知ADAB,ADAC,AEBC交BC于点E,D为FG的中点,AF=AG, EF=EG,求证:BCFG.,【解题思路】证明BC,FG同时垂直于一个平面,利用线面垂直的性质定理证明. 【参考答案】因为ADAB,ADAC,ABAC=A, 所以AD平面ABC
9、, 又BC平面ABC, 所以ADBC, 又AEBC,ADAE=A,得BC平面ADE;连接DE,又因为D为FG的中点,AF=AG,EF=EG, 所以FGAD,FGDE,ADDE=D, 所以FG平面ADE,所以BCFG.,【变式训练】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,求证:EFBD1.,【解析】如图所示,连接AB1,B1C,BD, 因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD, 所以DD1AC, 又因为BDAC,DD1BD=D, 所以AC平面BDD1B1, 所以ACBD1, 同理可证BD1B1C, 又ACB1C=C, 所以BD1平面AB1C. 因为EFA
10、1D,又A1DB1C, 所以EFB1C, 因为EFAC,ACB1C=C, 所以EF平面AB1C, 所以EFBD1.,典例4 (2016哈尔滨六中月考)如图,已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且AA1平面ABCD, DAB=60,AD=AA1=1,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点. (1)求证:平面D1FB平面BDD1B1; (2)求三棱锥D1-BDF的体积.,【解题思路】(1)利用判定定理法证两平面垂直;(2)利用转换底面法求三棱锥D1-BDF的体积.,典例5 (2015广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=
11、3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PEFG; (2)求二面角P-AD-C的正切值; (3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.,【解题思路】(1)通过等腰三角形底边中线垂直底边可得;(2)由面面垂直得PDC即为二面角P-AD-C的平面角,求解即可;(3)连接AC,结合已知条件可知连线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角,应用勾股定理与余弦定理求解.,位置关系中的转化思想 典例 空间四边形PABC中,PA,PB,PC两两相互垂直,PBA=45,PBC=60,M为AB的中点. (1)求BC与平面PAB所成的角; (2)求
12、证:AB平面PMC. 【解题思路】先考虑数量关系及计算,发现解题思路.,【针对训练】 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC,BD的交点,E,F分别是AB与AD的中点. (1)求证:OD1A1C1; (2)求异面直线EF与A1C1所成角的大小.,【解析】(1)A1C1AC, OD1与AC所成的锐角或直角就是OD1与A1C1所成的角, 连接AD1,CD1, AA1=CC1,A1D1=C1D1,AA1D1=CC1D1=90, AA1D1CC1D1, AD1=CD1.AD1C是等腰三角形. O是底边AC的中点, OD1AC, 故OD1与A1C1所成的角是90. OD1A1C1. (2)E,F分别是AB,AD的中点, EFBD, 又A1C1AC, AC与BD所成的锐角或直角就是EF与A1C1所成的角. 四边形ABCD是正方形, ACBD, EF与A1C1所成的角为90.,
