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1、数学与应用数学系毕业论文 哈尔滨师范大学学士学位论文黑体四号，加黑，居中题 目 浅谈反证法在几何中的应用学 生 与题目对齐，黑体四号，加黑指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 浅谈反证法在数学中的应用学生姓名 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学20XX年4月说 明本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。课题来源
2、：自拟题目课题研究的目的和意义：一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。本文由此通过举例的方式明确指出反证法在数学中对于一些类型题目的应用，比如：至多至少问题、唯一性问题、否定性问题等等。意义在于能够综合的表明反证法的重要性。国内外同类课题研究现状及发展趋势：课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：主要内容：反证法的应用方法：查找例子、经典应用主要问题：资料不够充分，很多方面的应用没有查找到解决办法：除了在图书馆和网络上找资料，自己也与老师进行了讨论课题研究起止时间和进度安排：起止时间：20XX年12月9日至
3、20XX年4月12日20XX年12月9日至20XX年12月20日收集论文资料，确定论文题目20XX年12月20日20XX年1月15日整理论文资料，完成初稿20XX年3月1日20XX年3月31日教师指导，修改稿20XX年4月1日-20XX年4月12日打印论文，定稿课题研究所需主要设备、仪器及药品：无外出调研主要单位，访问学者姓名：无 指导教师审查意见：同意开题指导教师 （签字） 20XX年 12 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题_方程_教研室（研究室）主任 （签字） 20XX年 12 月院（系）审查意见：同意开题_数学科学学院_院（系）主任 （签字） 20XX年 12 月学 士 学 位 论
4、 文黑体四号，加黑，居中题 目 浅谈反证法在数学中的应用学 生 与题目对齐，黑体四号，加黑指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学20XX年4月浅谈反证法在中学几何中的应用 摘要：欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能要牺牲一只兵或其他棋，但数学家用的却是整个游戏。哈代本文主要介绍反证法在几何中的应用。由历史背景引出，从思维过程开始，通过例题形象说明反证法在证明问题中是如何发挥作用的。尤其是对于存在性问题，唯一性命题，否定性命题，用反证法一般比较方便。与无限有关的命题，“至多”、“至少”等形式的命
5、题，我们也进行了简单的介绍。在证明几何问题的过程中，有时很难找到入手点，我们就可以考虑借助这种间接证明的方法进行论证。关键词：假设 矛盾 证明反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。在证明一个命题的时候,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件相矛盾,或者与定义、定理、公理等矛盾的结论,从而得出假设命题不成立,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.反证法是一种间接证法，当正向求解有一定的困难，则可以考虑问题的反面.比如对于一些复杂的不等式，有时很难找到求证的
6、入手点,这时可以考虑证明它的反论题为假.这种证明方法广泛应用在集合、不等式、几何证明等多个领域中.一、 从推翻亚里士多德定律开始据说,希腊大哲学家亚里士多德曾引出过一个命题:“物体下落的速度与物体的重量成正比.”因此,物体越重,下落速度越快.2000年来这个命题一直被人们认为是正确的,直到16世纪，意大利科学家伽利略做了著名的比萨斜塔实验，这个命题才被推翻.亚里士多德是一位著名的逻辑学家.他从数学总结出逻辑学,并提出逻辑学的基本原理矛盾律与排中律,从而奠定了反证法的逻辑基础.而有趣的是他的错误定律完全可以用他创立的逻辑学推翻:将一个矫情的重物与一个较重的重物用绳连结起来形成一个组合体.按亚里士
7、多德定律,下落的速度要小于的下落速度.在组合体的下落过程中,两个重物与相互牵制,因而组合体下落速度应介于和之间,即.但按亚里士多德定律可知,组合体的重量大于更大于,因而，显然是矛盾的既然亚里士多德定律导致矛盾，说明它在理论上是错误的法国数学家阿达马曾说过:“这证法在于：若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾”这是对反证法原理的极好的概括.反证法可以详述如下:若肯定命题的条件而否定其结论,并运用此相反结论,在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾,由此知该相反结论的错误性,进而可知命题结论的正确性.由此,反证法也可以简要地概括成这样一个公式:否定推理否定即，从否定结论开始，经过正确的推理，而达到新的否定
8、事实上有很多人说反证法也叫做归谬法，而这个说法是错误的尽管在形式上非常相近，但它们的证明能力实际上是存在差异的通过逻辑证明，可以说明反证法的证明能力更为强一些反证法假设矛盾论题，而归谬法不假设矛盾论题，这是两者在逻辑形式上的根本区别反证法证明的是一个命题的真，归谬法证明的是一个命题的假正是由于这个语义上的差别，人们在思维中对反证法和归谬法有不同的应用反证法常常用于所谓论证，是一个证明方法，而归谬法则通常用于所谓反驳,大家不要将两者混淆.反证法在数学中的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，现选择中学数学中几个有代表性的例子，加以说明反证法的概念和应用二、 反证法在几何中的应用例
9、题1. 证明几何量之间的关系这种类型的例题用直接证法证明都比较难，尤其证两条直线是异面直线常采用反证法。例1 （如图12）直线与平面相交于，过点在平面内引直线、， 求证： 证明：假设PO不垂直平面作并与平面相交于H，此时H、O不重合，连结OH由P作于E，于F，根据三垂线定理可知，PO是公共边，又图12因此，OH是的平分线同理可证，OH是的平分线但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是和的平分线，矛盾2. 证明“唯一性”问题(在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题)关于唯一性的问题，在几何、代数、三角等范围中都有这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般
10、情况下都采用反证法例2 试证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标、均为有理数的点）的直线有一条且只有一条证明：先证存在性因为直线，显然通过点，且直线至少通过两个有理点，例如它通过和这说明满足条件的直线有一条再证唯一性假设除了直线外还存在一条直线（或）通过点，且该直线通过有理点A与B，其中、均为有理数因为直线通过点，所以，于是，且又直线通过A与B两点，所以， ，得 因为A、B是两个不同的点，且，所以，由，得，且是不等于零的有理数由，得此式的左边是无理数，右边是有理数，矛盾所以，平面上通过点的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条即满足上述条件的直线有且只有一条3.
11、证明否定性问题关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型.于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明.例3 求证：抛物线没有渐近线证明：设抛物线的方程是().假设抛物有渐近线，渐近线的方程是，可知、都不为0.则渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 的两组解的倒数都是0.将（2）代入（1），得 （3）设、是（3）的两个根，由韦达定理，可知，则， （4）， （5）由（4）、（5），可得，与假设矛盾.所以，抛物线没有渐近线.4.证明“至少”或“至多”问题例4 已知：四边形ABCD中AC=BD=1求证：四边形中至少有一条边不小于证明：假设四边形的边
12、都小于，由于四边形中至少有一个角不是钝角，则设根据余弦定理，得，即与已知BD=1矛盾由此可得，四边形中至少有一条边不小于三、反证法在代数中的应用例题1. 否定性问题这类命题的结论一般只有“不是”，“不能”，“没有”，“无”等特征，其结论反面就更为具体，因而常用反证法。例1 对于任意自然数，分数不可约。证明：假设可约，则与有最大公约数(),所以与都能被整除因为（）所以能被整除又所以1能被整除，这与矛盾。故不可约2. 必然性问题这类命题结论具有“必然”、“一定”等特征，其反面就是对前者的否定，由此去推出矛盾，从而使问题获证。例2 若均为小于1的非负实数，试证，其中一定存在两个数，其差的绝对值小于证明：不妨设假定这个数中，任意两个数的差的绝对值都不小于，这与题设相矛盾，故得证。3. 命题结论所涉及的对象无限在此类问题中,结论的反面是有限，它比无限更具体，由它去推出矛盾，从而否定有限而肯定无限。例3 求证素数有无穷多个证明：假设素数只有有限个设为个，记为令
