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1、33 导数在研究函数中的应用,1知识与技能 结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系 2过程与方法 能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间,本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点：函数的导数与单调性的关系 1用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的 2利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的
2、单调区间,1利用导数判断单调性，是比较好的解题思路其一般步骤：(1)求导数f(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)0；(3)据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间 2单调区间为函数定义域的子集，求解时首先考虑定义域 3要注意单调区间的写法，特别是不连续点或不可导点,4yf(x)在(a，b)内可导，f(x)0或f(x)0且yf(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：yx3在R上f(x)0，所以yx3在R上单调递增 5利用导数判断单调性常与一些参数有关，此时要注意对参数的分类讨论,1设函数yf(x)在区间(a，b)内可
3、导， (1)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是 的； (2)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内是 的 2如果函数yf(x)在x的某个开区间内，总有f(x)0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x在某区间上，总有f(x)0，则f(x)在这个区间为 ,单调递增,单调递减,严格增函数,严格减函数,例1 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x33x1 解析 (1)函数f(x)的定义域为R f(x)3x23，令f(x)0，则3x230. 即3(x1)(x1)0，解得x1或x1. 函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1
4、，) 令f(x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x1. 函数f(x)的单调递减区间为(1,1),(2)函数f(x)的定义域为(，0)(0，),点评 求函数的单调区间必须在函数的定义域内，依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性另外，单调区间不可写成并集的形式,求下列函数的单调区间： (1)f(x)x33x29x (2)f(x)sinxx，x(0，) 解析 (1)f(x)3x26x93(x22x3)， 由f(x)0得，x1或x3， 函数f(x)的单调递增区间为(，3)、(1，) 由f(x)0得，3x1， 函数f(x)的单调递减区间为(3,1),(2)f(x)cos
5、x1，x(0，)时， cosx(1,1)，cosx10， 函数f(x)在(0，)上是单调递减函数.,例2 已知x1，求证xlnx. 解析 设f(x)xlnx (x1) 函数f(x)在(1，)上是增函数 又f(1)1ln110 即f(x)0对x(1，)恒成立 xlnx0，即xlnx (x1),点评 构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导数确定函数单调性，这种不等式证明方法经常使用，它是作差法的一个延伸,已知：x0，求证：xsinx. 解析 设f(x)xsinx (x0) f(x)1cosx0对x(0，)恒成立 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数 又f(0)0f(x)0对x(0，)
6、恒成立 即：xsinx (x0),解析 解法一：(区间法) f(x)x2axa1，令f(x)0，所以x1或xa1. 当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)内单调递增，不合题意,当a11，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7. 解法二：(数形结合) 如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4,6上,解法三：(转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所
7、以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x15，所以当a5时，f(x)0在(1,4)上恒成立， 又因为f(x)在(6，)上单调递增，所以f(x)0在(6，)上恒成立，,所以ax1，因为x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7. 点评 本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想,解析 因为f(x)x2axa(aR) 由题意知：f(x)0在(，)上恒成立， 所以a24a0，所以0a4. 故当0a4时，f(x)在R上单调递增,例4 已知函数f(x)2axx3，x(0,1，a0，若f(x)在(0,
8、1上单调递增，求a的取值范围,点评 在某区间内若f(x)0，则函数在该区间内单调递增，反之，若f(x)在区间D上为增函数，则f(x)0在D上恒成立,一、选择题 1函数f(x)2xsinx在(，)上 ( ) A是增函数 B是减函数 C在(0，)上增，在(，0)上增 D在(0，)上减，在(，0)上增 答案 A 解析 f(x)2cosx0在(，)上恒成立,2函数yxlnx在区间(0,1)上是 ( ) A单调增函数 B单调减函数 答案 C,3若在区间(a，b)内有f(x)0，且f(a) 0，则在(a，b)内有 ( ) Af(x)0 Bf(x)0 Cf(x)0 D不能确定 答案 A 解析 在区间(a，b
9、)内有f(x)0，且f(a)0， 函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)f(a)0.,4在下列函数中，在(0，)内为增函数的是( ) Asin2x Bxex Cx3x Dxln(1x) 答案 B 解析 yxex，则yexxexex(1x)， 又x0，y0，故选B.,二、填空题 5函数f(x)x3x的增区间是_和_，减区间是_,6已知函数yax22x3在(1，)上是减函数，则a的取值范围是_ 答案 0a1 解析 令f(x)x22x3(x1)22， 函数f(x)在(1，)上是增函数， 要使yaf(x)在(1，)上是减函数，应有0a1.,三、解答题 7已知函数f(x)x3ax8的单调递减区间为(5,5)，求函数f(x)的递增区间 解析 f(x)3x2a. (5,5)是函数yf(x)是单调递减区间，则5、5是方程3x2a0的根， a75.此时f(x)3x275. 令f(x)0，则3x2750. 解得x5或x5. 函数yf(x)的单调递增区间为(，5)和(5，),
