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1、33 导数在研究函数中的应用,1知识与技能 结合实例,借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系 2过程与方法 能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间,本节重点:利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点:函数的导数与单调性的关系 1用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便,是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用,它充分体现了数形结合的基本思想因此,必须重视对数学思想、方法进行归纳总结,提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度,达到优化解题思路、简化解题过程的目的 2利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,判断函数的
2、单调区间,1利用导数判断单调性,是比较好的解题思路其一般步骤:(1)求导数f(x);(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)0;(3)据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间 2单调区间为函数定义域的子集,求解时首先考虑定义域 3要注意单调区间的写法,特别是不连续点或不可导点,4yf(x)在(a,b)内可导,f(x)0或f(x)0且yf(x)在(a,b)内导数为0的点仅有有限个,则yf(x)在(a,b)内仍是单调函数,例如:yx3在R上f(x)0,所以yx3在R上单调递增 5利用导数判断单调性常与一些参数有关,此时要注意对参数的分类讨论,1设函数yf(x)在区间(a,b)内可
3、导, (1)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是 的; (2)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间内是 的 2如果函数yf(x)在x的某个开区间内,总有f(x)0,则f(x)在这个区间上严格增加,这时该函数在这个区间为 ;如果函数当自变量x在某区间上,总有f(x)0,则f(x)在这个区间为 ,单调递增,单调递减,严格增函数,严格减函数,例1 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x33x1 解析 (1)函数f(x)的定义域为R f(x)3x23,令f(x)0,则3x230. 即3(x1)(x1)0,解得x1或x1. 函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(1
4、,) 令f(x)0,则3(x1)(x1)0,解得1x1. 函数f(x)的单调递减区间为(1,1),(2)函数f(x)的定义域为(,0)(0,),点评 求函数的单调区间必须在函数的定义域内,依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间,体现了形象思维的直观性另外,单调区间不可写成并集的形式,求下列函数的单调区间: (1)f(x)x33x29x (2)f(x)sinxx,x(0,) 解析 (1)f(x)3x26x93(x22x3), 由f(x)0得,x1或x3, 函数f(x)的单调递增区间为(,3)、(1,) 由f(x)0得,3x1, 函数f(x)的单调递减区间为(3,1),(2)f(x)cos
5、x1,x(0,)时, cosx(1,1),cosx10, 函数f(x)在(0,)上是单调递减函数.,例2 已知x1,求证xlnx. 解析 设f(x)xlnx (x1) 函数f(x)在(1,)上是增函数 又f(1)1ln110 即f(x)0对x(1,)恒成立 xlnx0,即xlnx (x1),点评 构造函数是解本题的突破口,构造函数,利用导数确定函数单调性,这种不等式证明方法经常使用,它是作差法的一个延伸,已知:x0,求证:xsinx. 解析 设f(x)xsinx (x0) f(x)1cosx0对x(0,)恒成立 函数f(x)xsinx在(0,)上是单调增函数 又f(0)0f(x)0对x(0,)
6、恒成立 即:xsinx (x0),解析 解法一:(区间法) f(x)x2axa1,令f(x)0,所以x1或xa1. 当a11,即a2时,函数f(x)在(1,)内单调递增,不合题意,当a11,即a2时,f(x)在(,1)和(a1,)上单调递增,在(1,a1)上单调递减,由题意知:(1,4)(1,a1)且(6,)(a1,), 所以4a16,即5a7. 解法二:(数形结合) 如图所示,f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0,(6,)内f(x)0,且f(x)0有一根为1,则另一根在4,6上,解法三:(转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所
7、以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立,所以ax1,因为2x15,所以当a5时,f(x)0在(1,4)上恒成立, 又因为f(x)在(6,)上单调递增,所以f(x)0在(6,)上恒成立,,所以ax1,因为x17,所以a7时,f(x)0在(6,)上恒成立由题意知5a7. 点评 本题是含参数单调性问题,是高考的重点和热点,体现了数学上的数形结合与转化思想,解析 因为f(x)x2axa(aR) 由题意知:f(x)0在(,)上恒成立, 所以a24a0,所以0a4. 故当0a4时,f(x)在R上单调递增,例4 已知函数f(x)2axx3,x(0,1,a0,若f(x)在(0,
8、1上单调递增,求a的取值范围,点评 在某区间内若f(x)0,则函数在该区间内单调递增,反之,若f(x)在区间D上为增函数,则f(x)0在D上恒成立,一、选择题 1函数f(x)2xsinx在(,)上 ( ) A是增函数 B是减函数 C在(0,)上增,在(,0)上增 D在(0,)上减,在(,0)上增 答案 A 解析 f(x)2cosx0在(,)上恒成立,2函数yxlnx在区间(0,1)上是 ( ) A单调增函数 B单调减函数 答案 C,3若在区间(a,b)内有f(x)0,且f(a) 0,则在(a,b)内有 ( ) Af(x)0 Bf(x)0 Cf(x)0 D不能确定 答案 A 解析 在区间(a,b
9、)内有f(x)0,且f(a)0, 函数f(x)在区间(a,b)内是递增的,且f(x)f(a)0.,4在下列函数中,在(0,)内为增函数的是( ) Asin2x Bxex Cx3x Dxln(1x) 答案 B 解析 yxex,则yexxexex(1x), 又x0,y0,故选B.,二、填空题 5函数f(x)x3x的增区间是_和_,减区间是_,6已知函数yax22x3在(1,)上是减函数,则a的取值范围是_ 答案 0a1 解析 令f(x)x22x3(x1)22, 函数f(x)在(1,)上是增函数, 要使yaf(x)在(1,)上是减函数,应有0a1.,三、解答题 7已知函数f(x)x3ax8的单调递减区间为(5,5),求函数f(x)的递增区间 解析 f(x)3x2a. (5,5)是函数yf(x)是单调递减区间,则5、5是方程3x2a0的根, a75.此时f(x)3x275. 令f(x)0,则3x2750. 解得x5或x5. 函数yf(x)的单调递增区间为(,5)和(5,),