《2018届高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 文 北师大版（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第11节 导数在研究函数中的应用,1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.若可导函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0吗?f(x)0 是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?,提示:可导函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f(x)0,f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.,2.f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的什么条件?,提示:必要不充分条件,因为
2、当f(x0)=0且x=x0左右两端的导数符号变化时,才能说f(x)在x=x0处取得极值.反过来,如果可导函数f(x)在x=x0处取极值,则一定有f(x0)=0.,3.函数在某个区间上的极值与最值有什么关系?,提示:(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点; (2)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,必定是极值.,知识梳理,1.函数的单调性与导数 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 若f(x)0,则f(x)在这个区间上是 ; 若f(x)0,则f(x)在这个区间上是 ; 如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为 . (2)单调性的应用 若函数
3、y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f(x)在该区间上不存在变号零点. 2.函数的极值与导数 (1)函数的极大值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 .,增加的,减少的,常函数,极大值点,极大值,(2)函数的极小值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . 极大值与极小值统称为 ,极大值点与极小值点统称为 . (3)求可导函数极值的步骤 求导数f(x); 求方程f(
4、x)=0的根; 列表,检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得 .如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得 .如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.,极小值点,极小值,极值,极值点,极大值,极小值,3.函数的最值与导数 求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤: (1)求y=f(x)在(a,b)内的 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中 . 的一个为最大值, 的一个为最小值. 4.生活中的优化问题 导数在实际生活中的
5、应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义.,极值,最大,最小,夯基自测,D,解析:由函数f(x)的图象可知, f(x)在(-,0)上单调递增, f(x)在(0,+)上单调递减, 所以在(-,0)上f(x)0,在(0,+)上f(x)0. 选项D满足.,1.(2015福州模拟)函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( ),A,2.(2016唐山质检)函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数个
6、,D,4.已知a0,函数f(x)=x3-ax在1,+)上是单调增函数,则a的最大值是 .,解析:f(x)=3x2-a, 因为f(x)在1,+)上单调递增, 所以3x2-a0在1,+)上恒成立. 所以x1,+)时,a(3x2)min=3,所以a3.,答案:3,解析:错误.f(x)0能推出f(x)为增函数,反之不一定.如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0.所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件.错误.一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个.正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大值可能比极小值大,也可能比极小值小.错误.对可导函数f(
7、x),f(x0)=0只是x=x0为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时f(0)=0,而函数在R上为增函数,所以x=0不是极值点.正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.,5.给出下列命题: f(x)0是f(x)为增函数的充要条件; 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的; 函数的极大值不一定比极小值大; 对可导函数f(x),f(x0)=0是x=x0为极值点的充要条件; 函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. 其中正确的是 .,答案:,第一课时 利用导数研究函数的单调性,求函数的单调区间,方法一,解:(1)f(x)=ex(1+x2+2x)=ex(x+1)2
8、0恒成立, 因此f(x)的单调增区间为(-,+).,反思归纳 利用导数求函数单调性的方法: (1)当导函数不等式可解时,解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间. (2)当方程f(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分区间,确定各区间f(x)的符号,从而确定单调区间. (3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f(x)结构特征,利用图像与性质确定f(x)的符号,从而确定单调区间.,讨论函数的单调性,方法二,【例2】 (2015青岛二模)讨论函数y=(a-1)ln x+ax2+1在定义域上的单调性.,当a0时,f(x)0, 故f(x)在(0,+)上单调递减;,反思归纳 在求函
9、数的单调区间时,如果导数正负与所含参数取值有关系,则进行分类讨论,讨论时要弄清分类原则,做到不重不漏.,【即时训练】 已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a0. (1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x-e2y+1=0垂直,求实数a的值;,(2)讨论f(x)的单调性.,由函数的单调性求参数的取值范围,方法三,(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;,解:(2)由(1)得,f(x)=x2-ax=x(x-a)(a0), 当x(-,0)时,f(x)0; 当x(0,a)时,f(x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a).,(3)设函数
10、g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.,反思归纳 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题,即f(x)为(a,b)上的增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,备选例题,【例1】 函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是( ) (A)(0,1) (B)(1,+) (C)(-,1) (D)(-1,1),【例3】
11、 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x) 2x+4的解集为( ) (A)(-1,1) (B)(-1,+) (C)(-,-1) (D)(-,+),解析:设m(x)=f(x)-(2x+4), 因为m(x)=f(x)-20, 所以m(x)在R上是增函数. 因为m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0, 所以m(x)0的解集为x|x-1, 即f(x)2x+4的解集为(-1,+).故选B.,【例4】 已知函数f(x)=(ax2+x)-xln x在1,+)上单调递增,则实数a的取值范围是 .,类题探源精析 把复杂的问题简单化,导函数图象与原函数图像的关系,教材源题:水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.,解:(1)(B) (2)(A) (3)(D) (4)(C),方法总结 若函数在某范围内导数的绝对值较大,则函数在这个范围内“增”或“减”得快,函数的图像比较“陡峭”,反之,函数的图像“平缓”.,(A) (B) (C) (D),
