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1、,第二节 导数的应用（）,基础梳理,典例分析,题型一 利用导数求函数的单调区间,分析 通过解f(x)0,求单调递增区间.,【例1】已知f(x)= -ax-1,求f(x)的单调增区间.,解 f(x)= -ax-1,f(x)= -a. 令f(x)0,得 a. 当a0时，有f(x)0在R上恒成立； 当a0时，有xln a. 综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-,+); 当a0时，f(x)的单调增区间为ln a,+).,学后反思 求函数的单调区间，就是解f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间. 对可导函数，求单调区间的步骤如下： （1）求f(x)的定义域；
2、（2）求出f(x)； （3）令f(x)=0，求出全部驻点补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f( )=0，则称点 为函数f(x)的驻点； （4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.,解析,解析：f(x)=sin x- x,f(x)=cos x- . 当f(x)0,即cos x- 0时，解得0x , f(x)的单调递增区间为（0, ）; 当f(x)0,即cos x- 0时， 解得 x, f(x)的单调递减区间为 （ ,.）,题型二 已知函数的单调性求参数范围,【例2】已知函数f(x)= -ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递
3、增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,分析 函数的增区间是f(x)0恒成立的区间，函数的减区间是f(x)0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.,解 (1)由已知f(x)=3 -a, f(x)在（-,+）上是单调增函数， f(x)=3 -a0在(-,+)上恒成立， 即a3 在xR上恒成立. 3 0,只需a0. 又a=0时，f(x)=3 0,f(x)= -1在R上是增函数， a0. (2)由f(x)=3 -a0在(-1,1)上恒成立，得a3 在x(-1,1)上恒成立. -1x1,3 3,只需a3. 当
4、a3时，f(x)=3 -a在x(-1,1)上恒有f(x)0, 即f(x)在（-1,1）上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.,学后反思 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0 或f(x)0仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0或f(x)0，x(a,b)恒成立，且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说， 函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减
5、函数）来求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围.,举一反三,2. （2010西安模拟）若函数f(x)=x+asin x在R上递增，则实数a的取值范围是() A. -2,2 B. -1,1 C. D. 以上都不对,答案:B,解析:f(x)=1+acos x，要使函数f(x)=x+asin x在R上递增，则 1+acos x0对任意实数x都成立. 即当cos x0时，a ，而 -1,
6、 a-1；同理当cos x0时，a1. 综上可知,-1a1.,题型三 利用导数求函数的极值,分析 按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.,【例3】求函数f(x)= -2的极值.,解 易知f(x)的定义域为R. 令f(x)=0,解得x=1或x=-1. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况为：,当x=-1时，f(x)有极小值-3;当x=1时，f(x)有极大值-1.,学后反思 求函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f(x); （3）求方程f(x)=0的全部实根； （4）检查
7、方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，可用列表的方法：用方程f(x)=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.,举一反三 3. 已知函数f(x)= -p -qx的图象与x轴切于(1,0)点，求f(x)的极值.,解析：f(x)过（1，0）点，f(1)=1-p-q=0. f(x)=3 -2px-q,且f(x)与x轴相切于点(1,0)， f(1)=3-2p-q=0. 解方程组 得 f(x)=3
8、 -4x+1=(x-1)(3x-1)，,题型四 已知函数的极值求参数的值,分析 本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法.首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值.,【例4】(12分)已知函数f(x)=a +b -3x在x=1处取得极值，试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.,解 f(x)=3a +2bx-3,2 依题意得f(1)=f(-1)=0, 4 所以f(x)= -3x,f(x)=3 -3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1或x=1.6,若x(-,-11,+),则f(x)0， 故f(x)在(-,-1和1,+)上是增函数8 若x
9、-1,1,则f(x)0,故f(x)在-1,1上是减函数.10 所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.12,学后反思 注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用.,举一反三,4. 函数f（x)=a +3 -x+1在xR时是减函数，求实数a的取值范围.,解析：f(x)=3a +6x-1.因为f(x)在xR时是减函数，所以f(x)0在xR上恒成立且使f(x)=0的点只有有限个, 即有 解得a-3,即a的取值范围是(-,-3.,易错警示,【例】函数f(x)= 在x=1处有极值10,求a、b的值.,错解 f(x)= ,由题意知 f(1)=0,且f(1)=10, 即2a+b+3=
10、0,且 +a+b+1=10, 解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.,错解分析 错误的主要原因是把f( )为极值的必要条件当作了充要条件.,正解 f( )为极值的充要条件是f( )=0且f(x)在 附近两侧的符号相反. 所以后面应该加上：当a=4,b=-11时， f(x)=3 +8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1附近两侧的符号相反，a=4,b=-11满足题意; 当a=-3,b=3时，f(x)=3(x-1)2在x=1附近两侧的符号相同， a=-3，b=3应舍去. 综上所述，a=4,b=-11.,考点演练,10. （2010广东六校联考） 设函数y= -(ax)-a在x=1处取得极大
11、值，则a= .,解析:令ax=t，则y= -t-a,y=3 -2t-1. 令y=0，得t=1或t= ,即ax=1或ax= . 由已知，函数y=f(x)在x=1处取得极大值, a1=1或a1= ,a=1或a= . 经验证，仅当a= 时，y=f(x)在x=1处取极大值.,答案:,11. 已知函数f(x)= .若f(x)在区间1,+)上是增函数，求实数a的取值范围.,解析：f(x)=3 -2ax-3. f(x)在1,+)上是增函数, f(x)在1,+）上恒有f(x)0，即3 -2ax-30在 1,+)上恒成立，则必有 令g(x)= ,又g(x)在1,+)上为增函数， 当x=1时，g(x)取最小值0,
12、 0,即a0.,12. (2009天津)已知函数f(x)=( +ax-2 +3a) (xR),其中aR. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率; (2)当a 时，求函数f(x)的单调区间与极值.,解析：(1)当a=0时，f(x)= ，f(x)=( +2x) ，则f(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点（1,f(1)处的切线的斜率为3e. (2)f(x)= +(a+2)x-2 +4a . 令f(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a 知，-2aa-2.,所以f(x)在(-,-2a),(a-2,+)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a), 且f(-2a)= ; 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2), 且f(a-2)= .,若aa-2.当x变化时， f(x)、f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)在(-,a-2),(-2a,+)内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数. 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)= ; 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)= .,
