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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试试题（模拟）数 学（理工类） 本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟祝考试顺利注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上的试卷类型A后的方框图黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号图黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4选考题的作答：
2、先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔图黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5考试结束后，请将本试题卷和答题卡上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目的要求。1已知是虚数单位，复数，是的共轭复数，则的虚部为A2 B 2 C4D42已知集合,，命题p：；命题q：，则下列命题中为真命题的是Apq Bpq Cpq Dpq3 函数在点处的切线方程是AB CD4下列四个结论：“”是“”的充分不必要条件;已知幂函数的图象经过点，则的值等于；某学校有男、女学生各500名为了解男、女
3、学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样;设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg其中正确的结论个数是A1 B2 C3 D45如图1，已知正方体ABCDA1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于正视方向图1图2A. B. C. D. 6.已知,则的展开式中的常数项为A. B. C. D. 7如图，在程序框图中输入n=1
4、4，按程序运行后输出的结果是A0 B2 C3 D48若数列满足，,为非零常数，则称数列为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是A2B4C6D89已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 10定义在上的函数；当时，若，；则P，Q，R的大小关系为A. RPQ B. RQP C. PRQ D. QPR二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一） 必考题（11-14题）11已知点为抛物线的焦点，为原
5、点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且，则的最小值是 . 12已知a，b，c为ABC的三内角A，B，C的对边，向量，若，且，则角的大小为 13在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z xay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是 .14 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“”：已知和， ，当且仅当“”或“且”.定义两点的“”与“”运算如下： .则下面四个命题：已知和，则；已知和，若，则，且；已知，则；已知，则对任意的点，都有；已知，则对任意的点，都有.其中真命题的序号为 （把真命题的序号全部写出）.
6、（二） 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15. （选修4-1：几何证明选讲）如图，点A、B、C都在O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB6，BC3，CD4，则线段AC的长为_ 第15题图16. （选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程为，的极坐标方程为，则和的公共点的坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）在锐角三角形中，分别为角的对边，且满足.（）求的值；（）若，设角的大小为，的
7、周长为，求函数的单调区间及函数最大值.18（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，若为的中点，且（）求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得二面角 大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由AOAByCarDeBDOar19（本小题满分12分）某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人成本为3.2万元.根据天气预报，该地区5月12日不
8、降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.（）若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益； （）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.20（本小题满分12分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（）求a1； （）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由.21（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任意一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（）若直线，互相垂直，求圆的方程；（
9、）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；（）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由22（本小题满分14分）已知函数（其中为常数）.()当时，求函数的单调区间；()当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；()当时，设函数的3个极值点为，且.求证：.绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试试题（模拟）数 学参考答案本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟祝考试顺利一、选择题：题号12345678910A卷ACBCBDCBCAB卷CBADCDABBA 二、 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案
10、填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。11 12 13 14 15. （选修4-1：几何证明选讲） 6 16. （选修4-4：坐标系与参数方程） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）在锐角三角形中，分别为角的对边，且满足.（）求的值；（）若，设角的大小为，的周长为，求的单调区间及函数最大值.解：（）在中，由及余弦定理得2分 而，则5分 （）由及正弦定理得，6分 而，则.8分 于是，.10分当时,的单调递增区间,单调递减区间,12分18（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，若为
11、的中点，且AOAByCarDeBDOar（）求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求出的长；不存在，说明理由本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分（）证明：，且，2分.3分又，且，平面5分zOxyAByCarDeBADOarPar（）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则，6分设，平面的法向量为=，且取，得=8分又平面,且平面,平面平面.又,且平面平面平面.不妨设平面的法向量为=10分由题意得，11分解得或（舍去）当的长为时，二面角的值
12、为12分19（本小题满分12分）某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元.根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.（）若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益； （）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.本题考查概率概念及其意义，独立事件，对立事件和互斥事件的概率，随机变量的分布列及数学期望等相关知识；考查运算求解能力，数据处理能力和应用意识，考查转化与化归和必然与或然等数学思想方法. 本题满分13分.解：()设茶厂14日当天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6，3，1.51分4分所以的分布列为
