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1、2.5 用三种方式表示二次函数,确定二次函数表达式的一般方法:,顶点式,一般式,一般式,【思维诊断】(打“”或“”) 1.确定二次函数的表达式需要三个条件.( ) 2.知道二次函数的顶点和另一点的坐标,只能用顶点式确定其 表达式.( ) 3.在实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物 线.( ) 4.要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上三个点的坐 标.( ),知识点一 由两个点的坐标确定二次函数的表达式 【示范题1】(2013黑龙江中考)如图,抛物 线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两 点,交y轴于点E. (1)求此抛物线的表达式. (2)若直线y=x+1与
2、抛物线交于A,D两点,与y轴交于点F,连接DE,求DEF的面积.,【解题探究】(1)已知抛物线的二次项系数a=1,如何求出b,c的值? 提示:把点A和点B的坐标代入二次函数的表达式,得到关于b,c的方程组,解方程组即可求出b,c的值. (2)如果我们把EF作为底,如何作辅助线?再求出哪些条件就可以求出DEF的面积. 提示:过点D作DMy轴于点M,先求出点D,E,F的坐标,再确定EF和DM的长,即可求出DEF的面积.,【尝试解答】(1)抛物线经过A(-1,0),B(3,0), 抛物线的表达式为y=x2-2x-3.,(2)过点D作DMy轴于点M, 根据题意得: 解得 D(4,5),DM=4, 对于
3、直线y=x+1,当x=0时,y=1,F(0,1);对于y=x2-2x-3, 当x=0时,y=-3,E(0,-3),EF=4,SDEF= EFDM=8.,【想一想】 示范题1中ABD的面积是多少? 提示:AB=3-(-1)=4, 点D的坐标为(4,5), SABD= AB5=10.,【方法一点通】 由两个点的坐标确定二次函数的表达式的两种常见形式 1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式. 2.已知二次函数各项系数中的一个和任意两点的坐标,可用一般式求二次函数的表达式.,知识点二 由三个点的坐标确定二次函数的表达式 【示范题2】(2013佛山中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx
4、+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).,(1)求抛物线的函数表达式. (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴. (3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,求出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图中阴影部分).,【思路点拨】(1)把点A,B,C的坐标代入抛物线表达式y=ax2+bx+c,利用待定系数法求解即可. (2)把抛物线表达式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对称轴即可. (3)根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.,【自主解答】(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),
5、所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.,(3)如图,抛物线的顶点坐标为(2,-1),PP=1, 阴影部分的面积等于平行四边形AAPP的面积, 平行四边形AAPP的面积=12=2,S阴影=2.,【想一想】 示范题2中能否用顶点式求抛物线的表达式?表达式应该怎样设?代入时要注意什么问题? 提示:能用顶点式求抛物线的表达式. 抛物线经过点A(0,3)和C(4,3),其对称轴是直线x=2,抛物线的表达式可设为y=a(x-2)2+k,代入时要把A,B两点或B,C两点代入,代入A,C两点无法求出a和k.
6、,【备选例题】已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的两交点的 横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是- . (1)确定抛物线的表达式. (2)求出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.,【解析】(1)依题意抛物线的表达式可以转化为 y=a(x+1)(x-3)， 将点 代入，得-3a=- 解得a= , 故y= (x+1)(x-3),即y= x2-x- . (2)因为y= x2-x- = (x-1)2-2. 所以抛物线开口向上，对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1，-2).,【方法一点通】 “三式”巧定表达式 1.一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时,可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式为y=a(x-h)2+k(顶点式). 3.交点式:所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).,
