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1、【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第2章 平面向量章末归纳提升 苏教版必修4向量的线性运算1.向量的线性运算包括向量的加法、减法及数乘，其中向量的加法、减法的几何意义是向量进行线性运算的考查前提和基础，学习时务必掌握好三角形法则和平行四边形法则2向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题图21如图21所示，设ABC的重心为M，O为平面上任意一点，a，b，c，试用a，b，c表示向量.【思路点拨】由于，因此利用三角形的重心的性质，结合向量的三角形和平行四边形法则、向量的数乘的定义和运算律，
2、将用a，b，c表示即可解决问题【规范解答】连结AM，并延长交BC于点D，如图所示M是ABC的重心，D是BC的中点，且AMAD.()()()(ba)(cb)bacbabc.a(abc)(abc)图22如图22，O是平行四边形ABCD外一点，用，表示.【解】四边形ABCD是平行四边形，设其对角线AC，BD相交于点E，由向量加法的平行四边形法则，可知2，2，.向量的共线问题证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量a，b(a0)共线存在惟一实数，使ba；(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线x1y2x2y10；(3)向量a与b共线|ab|a|b|；(4)向量a与b共线存在不全为零的实
3、数1，2，使1a2b0.判断两向量所在的基线共线时，除满足定理的要求外，还应说明两基线有公共点已知锐角ABC三个内角为A，B，C，向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A,1sin A)是共线向量求角A.【思路点拨】利用向量共线的条件，得到三角函数的关系式，解三角方程即可求角【规范解答】向量p，q共线，(22sin A)(1sin A)(sin Acos A)(cos Asin A)0.22sin2Asin2Acos2A.sin2A.又A为锐角，sin A.A.设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A，C，D三点
4、共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A，C，D三点共线，求k的值【解】(1)证明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线，又与有公共点C，A，C，D三点共线(2)3e12e2，A，C，D三点共线，与共线，从而存在实数，使得，即3e12e2(2e1ke2)，由平面向量基本定理，得解得，k.数量积运算及应用数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题：1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，平行问题abx1y2x2y10垂直问题abx1x2y1y202.求向量的模及夹角问题(1)设a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|；(2
5、)两向量夹角的余弦(0)cos .已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设M是直线OP上一点(O为坐标原点)(1)求使取最小值时的.(2)对(1)中求出的点M，求AMB的余弦值【思路点拨】根据M是直线OP上一点，可得，从而表示出的坐标，再计算出，然后求最小值【规范解答】(1)M是直线OP上一点，设(2，)，则(12，7)，(52，1)，5220125(2)28，当2时，取最小值，此时(4,2)(2)由(1)知，(3,5)，(1，1)，cosAMB.设a(，1)，b(，)，若存在不同时为零的实数k和t，使xa(t3)b，ykatb，且xy.(1)试求函数关系式kf(t)；(2)求使f(t)0的
6、t的取值范围【解】(1)ab0，xy，|a|2，|b|1，a(t3)b(katb)0.即ka2tk(t3)abt(t3)b20，4kt23t0.k(t23t)k，t不同时为0，函数定义域为t|tR且t0(2)由f(t)0，即(t23t)0，解得t3或t0.即t的取值范围是(，0)(3，).向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题图23已知梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是BD，AC的
7、中点，如图23所示，求证：EFBC，EFAD.【思路点拨】设a，b，利用向量平行来进行证明【规范解答】设a，b.ADBC，.ba.E为BD的中点，(ba)又F为AC的中点，()(ba)(ba)(ba)()b.又b，()，.又，不在同一条直线上，EFBC.又BCAD，EFAD.ABC中，ABAC，D为AB中点、E为ACD的重心，F为ABC的外心，用向量方法证明：EFCD.【证明】依题意建立如图坐标系，设A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)，由中点公式得D(，)，则(a，)易知ABC的外心F在y轴上，坐标可记作(0，y)由|及两点间距离公式得y，即F(0，)又由重心坐标公式得E(，)，则(，)
8、a()()0，即CDEF.数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题已知向量a2b21，且ab，求：(1)|ab|；(2)a与(ba)的夹角【思路点拨】【规范解答】作a，b，以，为邻边作ABCD，如图所示由a2b21及ab得|1，cosBAD.又BAD0，BAD.所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为的菱形，易得(1)|ab|1.(2)a与(ba)的夹角为.已知点B(，0)，点O为坐标原点且点A在圆(x)2(y)21上，则与的夹角的最大值与最小值分别是_【解析】如图所示，当点A在圆C上运动时，过原点O可作圆的两条切线，两切线与x轴正向所夹的角即为所求当直线OA与圆C相切时，与夹角最小或最大因为C(，)，所以BOC.又因为|OC|2，r1，所以AOC，因此与的夹角的最大值与最小值分别是，.【答案】，
