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1、1充分理解导数即瞬时变化率，它是平均变化率的极限，路程对时间的瞬时变化率是瞬时速度，速度对时间的瞬时变化率是瞬时加速度等 2会用导数研究函数图象的形状：单调性、极值、最值等注意f(x)“在M上单调”与“它的单调区间为M”的区别；注意极值与极值点的区别另外，可构造辅助函数，研究方程根的个数，证明不等式等 3结合图形，理解在P点处的切线与过点P的切线的区别切线问题的核心是抓住一个等量关系沟通已知与待定设切点为P(x0，y0），则切线的斜率为k= f (x0)通过切点沟通曲线与切线,【例1】(2010 浙江杭州第一次数学质检)已知aR，函数f(x)=x2(x-a) (1)当a=3时，求f(x)的零点
2、； (2)求函数y=f(x)在区间1,2上的最小值,求函数在某区间上的最值，可先利用导数求得极值点，再以极值点与给定区间的位置关系为标准进行分类讨论,(1)已知f(x)在M上递增，则f (x)0在M上恒成立； (2)讨论某区间上函数的最值问题，可通过画图、截取、观察获得,【变式训练】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1)的切线方程为y=3x+1. (1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，求y=f(x)在-3,1上的最大值； (3)若函数y=f(x)在区间-2,1上单调递增，求实数b的取值范围,将过点P的
3、切线方程与y=3x+1建立等价关系式,再利用y=f(x)在x=-2时有极值可确定a，b，c的值第(3)问可转化为f (x)0在-2,1上恒成立时b的取值范围,(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c， 所以f (x)=3x2+2ax+b. 过y=f(x)上的点P(1，f(1)的切线方程为y-f(1)= f (1)(x-1)，即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1) 而已知过y=f(x)上的点P(1，f(1)的切线方程为y=3x+1. 故 ，即 因为y=f(x)在x=-2时有极值，故f (-2)=0. 所以-4a+b=-12. 由联立解得a=2，b=-4，c=5， 所以f(x)=x
4、3+2x2-4x+5.,(2)f (x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)， 令f (x)=0，解得x= 或x=-2. 当x变化时，f (x)、f(x)的变化情况如下表： 所以f(x)的极大值为f(-2)=13， 极小值为f( )= . 又因为f(-3)=8，f(1)=4， 所以f(x)在-3,1上的最大值为13. (3)y=f(x)在区间-2,1上单调递增,又f (x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0. 所以f (x)=3x2-bx+b. 依题意知，在-2,1上恒有f (x)0， 即3x2-bx+b0在-2,1上恒成立， 当x= 1，即b6时， f (x)min=f (1
5、)=3-b+b0，所以b6； 当x= -2，即b-12时， f (x)min=f (-2)=12+2b+b0，所以b不存在； 当-2 1，即-12b6时， f (x)min=f ( )= 0，所以0b6. 综上所述b0.,【例2】 (2010 湖南卷)已知函数f(x)= +x+(a-1)lnx+15a，其中a0，且a-1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设函数 (e是自然对数的底数)是否存在a，使g(x)在a，-a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由,利用导数判断f(x)的单调性分段函数在某区间上单调，可转化为各段函数在该区间上分别单调，且断点处的函数值也满足单调
6、性即可,(1)f(x)的定义域为(0，+) 若-10； 当-a1时，f (x)0. 故f(x)分别在(0，-a)，(1，+)上单调递增，在( -a,1)上单调递减 若a-1，同上可得f(x)分别在(0,1)，(-a，+)上单调递增，在(1，-a)上单调递减 (2)存在a，使g(x)在a，-a上为减函数,设h(x)=(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(xR)， 则h(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2ex. 再设m(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2(xR)，则当g(x)在a，-a上单调递减时，h(x)必在a,0上单调递减，所以h(a)0. 由于ex
7、0，因此m(a)0. 而m(a)=a2(a+2)，所以a-2. 此时，如果g(x)在a，-a上为减函数，当且仅当f(x)在(1，-a上为减函数，h(x)在a,1上为减函数，且 h(1)e f(1) 由(1)知，当a-2时，f(x)在(1，-a上为减函数,又h(1)e f(1)4a2+13a+30 -3a-1/4. 不难知道，xa,1，h(x)0 xa,1，m(x)0. 因为m(x)=-6x2+6(a-2)x+12a =-6(x+2)(x-a)， 令m(x)=0，则x=a，或x=-2，而a-2， 于是： 当a0； 若-2x1，则m(x)0. 因而m(x)在(a，-2)上单调递增，在(-2,1)上
8、单调递减,当a=-2时，m(x)0，m(x)在(-2,1)上单调递减 综合、知，当a-2时，m(x)在a,1上的最大值为m(-2)=-4a2-12a-8. 所以xa,1，m(x)0m(-2)0 -4a2-12a-80a-2. 又对xa,1，m(x)=0只有当a=-2时在x=-2处取得， 亦即h(x)=0只有当a=-2时在x=-2处取得 因此，当a-2时，h(x)在a,1上为减函数， 从而由知，-3a-2. 综上所述，存在a，使g(x)在a，-a上为减函数，且a的取值范围为-3，-2,利用导数判断函数的单调性，求函数的极值与最值的方法是导数在研究函数性质方面的深入，是导数应用的关键点,【变式训练
9、】已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中kR.设函数p(x)=f(x)+g(x)若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围,【例3】(2010 浙江卷)已知a是给定的实常数，设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex，bR，x=a是f(x)的一个极大值点 (1)求b的取值范围； (2)设x1，x2，x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列xi1，xi2，xi3，xi4(其中i1，i2，i3，i4=1,2,3,4)依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在,说明理由,
10、(1)x=a是f(x)的一个极值点，即x=a是f(x)=0的一个根，但不是重根(2)的关键是先确定x1，x2和a的位置关系，再分情况讨论，从而确定x4的位置,正确理解函数的极值的概念，熟练运用导数的运算法则、导数应用及等差数列等基础知识是解题的关键,【变式训练 】(2010 全国卷)设函数f(x)=1-e-x. (1)证明：当x-1时，f(x) x(x+1)； (2)设当x0时，f(x) ，求a的取值范围,1函数单调性的应用 (1)若f (x)0在区间(a，b)上恒成立，则函数f(x)在(a，b)上单调递增； (2)若f (x)0在区间(a，b)上恒成立，则函数f(x)在(a，b)上单调递减 2函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于函数f(x)，“f(x)在x=x0处的导数f (x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件；,(3)注意导函数的图象与原函数的图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 3利用导数解决优化问题的步骤 (1)审题设未知数； (2)结合题意列出函数关系式； (3)确定函数的定义域； (4)在定义域内求极值、最值； (5)得出结论,
