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1、恒定电流竞赛漫谈,1.基本概念,支路：两个相邻节点间，由电源和电阻串联而成的且不含其他它节点的通路。通过支路的电流叫支路电流；支路两端的电压叫支路电压。,节点：在电路中，三条或三条以上导线相交在一起的点。,三、基尔霍夫定律,3.叠加原理,在具有几个电动势的电路中，几个电动势共同在某一支路中引起的电流，等于每个电动势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。,例题 如图是一电桥电路，R1、R2、R3和R4的是四臂的电阻，G是内阻为Rg的电流计，电源的电动势为e，并忽略其内阻，求通过电流计G的电流Ig与四臂电阻的关系。,解 该桥式电路由4个节点和6条支路组成，可列出3个节点方程和3个回路方程，共6个独
2、立方程。,简化后，得到三个方程组：,采用行列式法解该方程组，则 ：,其中Dg和D分别为：,若Ig=0，则Dg必为零，由此必有：,桥式电路可以用于测量电阻，若R3为可变电阻，R2/R4的比值一定，则通过调节R3，使Ig=0，由上式就可求得R1。,四、 复杂电路电阻计算法,1. 电流叠加法,无限对称网络的电阻计算，常常采用电流叠加法。,例一立方体，每边的电阻都为R，求对角线之间的电阻。,解对A点， I=3I1 对C点，I1=2I2,所以,例一个无限延展的矩形线圈平面网络，求任意相邻两点间的电阻。,解由对称性和叠加原理,A点送入I安培，则,B点取出I安培，则,两者相加，有,又,所以,若把AB间的电阻
3、r去掉，则AB间的电阻为多少？,若把AB间的电阻换成R，则AB间的电阻为多少？ 若把所有电阻换成电容C，则AB间的等效电容是多少？,Rab=r/3,Rab=2r/3,拓展题无限大六角形网络, 每边电阻为r, 求: (1)ab之间电阻; (2)如果电流从a流入, 从g流出, 求de段的电流.,=,+,b,d关于a点对称,同理, 电流I从g点流出, 则类似的分析, 有:,2.对称法,一个无源电阻网络，经某种操作（如旋转、反射等），所得的网络与原网络相同，则称原网络在这些操作下具有对称性。,对称性电路，在接入电源后，往往可以找到由对称性带来的等势点。使问题简化。,例题如图所示的电阻网络，每一段的电阻
4、为r，求AB的等效电阻和MN之间的等效电阻。,解本题的对称性十分明显，求RAB时，电路简化成右图。,求MN之间的电阻，可把电路进一步简化成右图。,例某电路有8个节点,任意2个节点之间的电阻为2W,在任意2个节点之间加上10V电压.求总电流,各支路电流以及电流消耗的总功率.,由对称性, 3,4,5,6,7,8各点之间无电流,R12=0.5W, I=20A, P=200W, I12=I/4=5A, 其余相同I13=2.5A,例题 二端无限梯形电阻网络如图所示，它由K个相同的网络元中接而成，每个网络元包含三个相同的电阻R计算图中A、B两点之间的等效电阻RAB。 先设x个网络元组成二端网络其等效电阻记
5、为RK，再连接一个网络元，其等效电阻记为R K+l设法找出R K+l与RK之间的递推关系最后令K ， R K+l和RK都是所求电阻RAB 。,或,当K时，,所以，方程为：,所以：,显然R不能取负号。,二端无限电容网络，电容均C求图中A、B两点之间的等效电阻CAB。,由倒数电容法和上题结果，有：,例题如图所示的电阻网络，每个电阻在阻值为r，求AB间的等效电阻。,把网络分解成三部分，MM左边，NN右边和中间部分。,这样，两边就是两个二端无限网络，如图：,电路就等效于下图，所以AB间的电阻为,3.自相似法,在求无限网络的等效电阻时, 常常碰到电阻结构的相似性 , 即局部与整体相似 , 或在标度变换下
6、的自相似性。,例电阻丝无限网络如图所示, 每一段金属丝的电阻均为 r, 试求A、B两点间的等效电阻 RAB 。,设想电流从A流入,设想电流从B流入,本图由于自相似, A就是B , B就是A. 中间金属丝中的电流发生了矛盾。 故这根无限长电阻丝中各点等势 . 故可这根电阻丝 .,又因网络相对A、B联线具有左右对称, 故可折叠成图 2所示, 此网络可视为A、 B之间 2r/3 电阻与图中虚线右侧的两端开路半无限网络并联而成 。,从虚线往右看, 两端开路半无限网络的电阻计为RAB ，其结构和从CD两端往右看的两端开路半无限网络的结构具有相似性。因为是无限网络, 有 RAB=RCD=Rx,舍去Rx2,
7、例用同种均匀金属丝连接成的无限内接等边三角形电阻网络如图所示, 每个外三角形的三边中点为内接三角形的三个顶点。设最外面的等边三角形的边长为a, 金属丝单位长度的电阻为 r , 试求A、 B之间的等效电阻 RAB 。,解网络相对MON 具有左、右对称性。若电流从 A 点流入, 从B点流出, 那么从左侧流向 MON 的电流分布必定与从 MON向右侧流出的电流分布相同。因此, A到O的电流与O至 B 的电流相同, P 到O的电流 与O到Q的电流相同 。因而, POQ 与 AOB 可在 O 处分开, 而不影响计算的结果 。,因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之一, 因此上图的网络相当于在大三角形 ABC 两边中点 P 与 Q 之间连接一个边长a/2的无限内接三角形网络, 两者在结构上体现了在标度变换下的自似性, 阻值的变化也具有这样的性质。,电阻的三角形和星形连接的 等效变换,
