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1、章末知识整合专题一直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度1倾斜角与斜率k的对应关系：当90时，ktan ；当90时，k不存在2单调性：当由090180(不含180)变化时，k由0逐渐增大到(不存在)，然后由(不存在)逐渐增大到0.3经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k(x1x2)，注意当x1x2时，直线斜率不存在已知坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围解析：(1)kAB0，AB
2、倾斜角为0.kBC，BC倾斜角为60.kAC，AC倾斜角为30.(2)如题图，当D在AB上变化时，斜率k由kCA增大到kCB，k的取值范围为.跟踪训练1若直线axy20与连接点A(2,3)，B(3，2)的线段有交点，则a的取值范围是_解析：容易发现，直线axy20过定点P(0，2)，因此，要使直线与线段AB始终有交点，如图所示，当直线绕P点在PA、PB之间旋转时，直线axy20与连接点A(2,3)、B(3,2)的线段有交点，而axy20的斜率ka，当直线由PB开始绕P点逆时针旋转时(不与y轴重合)，到PA为止，直线与线段AB始终有交点，此时，斜率的变化为：当直线axy20的倾斜角为锐角时：kk
3、PB，而kPB，即a，所以a；当直线axy20的倾斜角为钝角时：kkPA，而kPA，即：a，所以a.答案：2过点A(8,6)引三条直线l1，l2，l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是yx，求直线l1，l3的方程解析：设直线l2的倾斜角为，则tan ，于是tan，tan 2.故直线l1的方程为y6(x8)，即x3y100.l3的方程为y6(x8)，即24x7y1500.专题二两直线的平行与垂直两直线平行或垂直的判定方法：直线形式l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行k1k2且b1b2A1B2A2B10且A1C2A2C10垂直k
4、1k21A1A2B1B20如果直线ax2y20与直线3xy20平行，那么系数a等于()A6 B3 C D.解析：由题意得a6.答案：A跟踪训练3已知直线l1经过点A(2，a)，B(a1,3)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，a2)(1)若l1l2，求a的值；(2)若l1l2，求a的值解析：直线l2的斜率为k2，则k2.(1)若l1l2，则l1的斜率k1，又k11，a3.(2)若l1l2，当k20时，此时a0，且k11，不合题意当k20时，l1的斜率存在，且k11，由k2k21，可得a3.专题三直线方程的五种表示形式直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，注意每一种方程形
5、式的适用条件，必要时对特殊情况进行讨论过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解析：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别是x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，适合题意当两条直线斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx.令y0，得x1与x.由题意|1|1，即k1.直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，适合题意的直线方程为x1，x0或xy10，xy20.跟踪训练4求过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，5)到它的距离相等的直线方程解析：x1显然符合
6、条件；当A(2,3)，B(0，5)在所求直线的同侧时，kAB4，y24(x1)，即4xy20.综上，符合题意的直线方程为x1或4xy20.5已知直线AxByC0，(1)系数为什么值时方程表示通过原点的直线(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交(3)系数满足什么条件时只与x轴相交(4)系数满足什么条件时是x轴解析：(1)把原点(0,0)代入AxByC0，得C0；(2)此时斜率存在且不为零即A0且B0；(3)此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B0且C0；(4)AC0，且B0.专题四距离问题两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离是高考考查热点，公式见下表：距离类别条件公式两点间的距离A(x1，
7、y1)，B(x2，y2)|AB|点到直线的距离P(x0，y0)l：AxByC0d两平行直线的距离l1：AxByC10l2：AxByC20d直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线的距离为3，求直线l的方程解析：当所求直线经过坐标原点时，设其方程为ykx，由点到直线的距离公式可得3，解得k6，故所求直线的方程为y(6)x.当直线不经过坐标原点时，设所求方程为1，即xya0.由题意可得3，解得a1或a13.故所求直线方程为xy10或xy130.跟踪训练6直线xy20上点到原点的距离的最小值为()A1 B. C. D2解析：直线xy20上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度故d
8、min.答案：B7已知两平行直线分别过点(1,0)和(0,5)，且距离为5，则它们的方程是_解析：设两条直线的方程分别为yk(x1)和y5kx.即kxyk0和kxy50，则由题意得5，解得k0或k，即y0和y5或5x12y50和5x12y600.答案：y0和y5或5x12y50和5x12y600专题五对称问题在解析几何中，对称问题有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称1中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1,2by1)，即P为线段P1P2的中点特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P(x，y)(2)两直线关
9、于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上必有l1l2，且P到l1，l2的距离相等2轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称三条直线l，l1，l2共点，且l上任意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；l1l2l且l1到l的距离等于l2到l的距离已知直线l：y3x3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线yx2关于直线l对称的直线l1的方程；(3)直线
10、l关于点A(3,2)对称的直线方程解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则PP的中点M在l上，且直线PP垂直于l，即解得P点的坐标为(2,7)(2)由已知，要求的直线l1过y3x3与yx2的交点，设其方程为(y3x3)(yx2)0.l上点(0,3)到yx20的距离d，l1的方程化为(1)y(3)x230，点(0,3)到l1的距离为d，2281022，解得，符合条件的直线方程为yx0，即7xy220.(3)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立解得代入l的方程后，得3x3y3170.
11、即l3的方程为3xy170.跟踪训练8求直线m：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线l的方程解析：解法一：设直线l上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0,42x0)，且P、Q两点关于直线l：3x4y10对称，则有消去x0，得2x11y160.解法二：由m：2xy40知A(2,0)，B(0,4)为m上的点，设A、B关于l的对称点为A(a，b)、B(a，b)，则有解得即A.解得即B.kl.l的方程为y，即2x11y160.9从点A(4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：xy30反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l所在的直线方程解析：设B(1,6)关于直线l1的对称点为B(x0，y0)，则解得直线AB的方程为，即3x7y190.直线l的方程为3x7y190.
