《高中数学 直接证明与间接证明课件八 新人教a版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 直接证明与间接证明课件八 新人教a版选修1-2（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1 数学归纳法 及其应用举例 （1）,2.1 数学归纳法及其应用举例,课题引入,观察：633，853，1037，1257，143 11，16511，786711，我们能得出什么结论？,任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和,教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” ,由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常 叫做归纳法,不完全归纳法,完全归纳法,数学小常识,2.1 数学归纳法及其应用举例,新授课,1在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ，,2.1 数学归纳法及其应用举例,新授课,2.1 数学归纳法及其应用举例,新授课,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的
2、数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(kN,kn0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.,数学归纳法的两个步骤：,()证明当nn0(n1)(如n1或2等)时，结论正确；,()假设当nk(kN*且kn0)时结论正确，并应用此假设证明nk1时结论也正确,注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可,定 义,2.1 数学归纳法及其应用举例,新授课,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2）, 可知等式对任何 都成立,2.1 数学归纳法
3、及其应用举例,新授课,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；,（2）假设当 时结论正确，证明当 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,2.1 数学归纳法及其应用举例,例题讲解,例1 用数学归纳法证明,【分析】（1）1+3+5+(2n1)=n,当n分别取值1、2、3.k、k+1时的命题是什么？ n=1 命题：1=1,n=2 命题：1+3=2,2.1 数学归纳法及其应用举例,例题讲解,例1 用数学归纳法证明,【分析】(2) 第一步应做什么?本题的n0应取多少?,n0=1,（3）在证传递性时，假设
4、什么？求证什么?,2.1 数学归纳法及其应用举例,例题讲解,例1 用数学归纳法证明,证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,（2）假设当 时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），可知等式对任何 都成立,用数学归纳法证明：1、1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)；,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+3+k =k(k+1)/2 那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)(k+1)+1/2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
5、。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN都成立。,练习：,2、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*),证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+22+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =22k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN*都成立。,练习：,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；
6、,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。,2.1 数学归纳法及其应用举例,课堂小结,2.1 数学归纳法及其应用举例,练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他
7、的证法正确吗?为什么? (1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时, 左边 =右边, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,再见！,2005，5，30,作业：P67 1、（1）2、3（1）,哥德巴赫猜想,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.,
