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1、第四节 幂函数,基础梳理,1. 幂函数概念:形如 的函数称为幂函数,其中x是 ,为 .,自变量,常数,2. 幂函数的图象(以y=x,y= ,y= ,y= ,y= 为例).,3. 幂函数的图象和性质 (1)所有的幂函数在 都有定义,并且图象都过点 (2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+)上是 . (3)0时,幂函数的图象在区间(0,+)上是 .在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近 ,当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近 . (4)当为奇数时,幂函数为 ,当为偶数时,幂函数为 .,(0,+),(1,1),增函数,减函数,y轴,x轴,奇函数,偶函数,4. 5个
2、具体幂函数的性质,R,R,R,R,奇,奇,偶,奇,非奇非偶,增,增,增,增,减,典例分析,题型一 幂函数的定义,【例1】已知f(x)= ,m为何值时,f(x)是: (1)正比例函数? (2)反比例函数? (3)二次函数? (4)幂函数? (5)在(4)的条件下,满足在(0,+)上单调递增?,分析 (1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定m的值,(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系.,解 (1)若f(x)为正比例函数,则 m=1.,(2)若f(x)为反比例函数,则 m=-1. (3)若f(x)为二次函数,则 (4)若f(x)为幂函数,则 , m= . (5)由(4)得m= 当
3、m= 时, ,f(x)= 在(0,+)上单调递减,不合题意; 当m= 时, ,f(x)= 在(0,+)上单调递增. 综上，m=,学后反思 本题考查各种函数的概念,需要根据相应函数的定义列出等式或不等式,并结合函数性质求出参数的值，同时分清哪种条件下的函数是幂函数.,举一反三,1.如果幂函数y= 的图象不过原点,则m的取值是( ) A. -1m2 B. m=1 C. m=2 D. m=1或m=2,解析: 由幂函数的定义, ,所以m=1或m=2.又图象不过原点,所以 -m-20,解得-1m2. 综上，m=1或m=2. 答案： D,题型二 幂函数的图象及其应用,【例2】点 在幂函数f(x)的图象上,
4、点 在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)问当x取何值时有:f(x)g(x)?f(x)=g(x)?f(x)g(x)?,分析 先求出幂函数的解析式,再利用图象判断f(x)、g(x)的大小关系.,解 (1)设f(x)= ,因为点 在幂函数f(x)的图象上,将 代入f(x)= 中,得2= ,解得a=2,即f(x)= . 设g(x)= ,因为点 在幂函数g(x)的图象上,将 代入g(x)= 中,得 ,解得b=-2,即g(x)= . (2)方法一:在同一坐标系下作出f(x)= 和g(x)= 的图象如图所示. 由图象可知: 当x1或xg(x); 当x=1或x=-1时,f(
5、x)=g(x); 当-11,即 1,即|x|1, x1或xg(x); 令 ,得 =1,即x=1时,f(x)=g(x); 令 ,得 1,|x|1,即-1x1且x0时,f(x)g(x).,学后反思 (1)求幂函数解析式的一般步骤: 设出幂函数的一般形式y= (为常数); 根据已知条件求出的值; 写出幂函数的解析式. (2)本题的第(2)问方法一采用了数形结合的思想,借助图象求出不等式和方程的解.方法二用分类讨论的思想,解不等式求x的取值范围,但必须要注意g(x)的定义域为x|x0,故f(x)g(x)的解集为x|-1x1且x0,这是本题易错点.,举一反三,2.已知幂函数f(x)= (mZ)的图象与x
6、轴、y轴均无公共点,且关于y轴对称,试确定f(x)的解析式.,解析: 由 得m=-1或1或3. 当m=-1或3时,解析式为f(x)= (x0); 当m=1时,解析式为f(x)= .,题型三 幂函数性质的应用,【例3】比较下列各组值的大小: (1) 和 ; (2) 、 和 ; (3) 和,分析 比较幂值的大小,一般可以借助幂函数和指数函数的单调性,有时也要借助中间值,解 (1) 由于幂函数y= 在(0,+)上是减函数,所以 , 因此 ,即 . (2)由于 1,0 1, 0,因此 (3)由于指数函数y= 在R上是减函数,所以 又由于幂函数y= 在(0,+)上是增函数,所以 故有,学后反思 比较幂值
7、的大小,常用以下几种类型: (1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较; (2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较; (3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来确定两幂值的大小.,举一反三,3. 当0ab1时,下列不等式正确的是( ) A. B. C. D.,解析： 由0ab1,可知ab,0a1, 01-b1-a1, , 答案： D,题型四 幂函数的综合应用,【例4】(12分)已知对任意的 (0,+)且 ,幂函数 f(x)= (pZ)满足 ,并且对任意的xR,f(x)-f(-x)=0. (1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式; (2)对于
8、(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)=-qf(x)+(2q-1) +1,问是否存在实数q(q0),使得g(x)在区间(-,-4上是减函数,且在 (-4,0)上是增函数?若存在,求出q的值;若不存在,说明理由,分析 由条件看出f(x)是偶函数，且在(0,+)上是增函数.这样可求出f(x)的解析式,再代入g(x)得g(x)的解析式.,解 (1)幂函数f(x)= (pZ)在(0,+)上是增函数, 0,解得-1p3.2 又pZ,则p=0或1或2. 当p=0或2时,f(x)= 不是偶函数; 当p=1时,f(x)= 是偶函数, p=1,此时f(x)= .4,(2)g(x)=-q +(2q-1) +1
9、.令t= , 设G(t)=g( )=-q +(2q-1)t+1(t0).6 t= 在(-,0)上是减函数, 当x(-,-4时,t16,+); 当x(-4,0)时,t(0,16).8 当G(t)在16,+)上是增函数,在(0,16)上是减函数时,g(x)在(-,-4上是减函数,在(-4,0)上是增函数,此时二次函数G(t)的对称轴方程为t=16,10 即t= q= . 存在符合题意的实数q,q= .12,学后反思 幂函数的图象与性质是本题考查之一.对于存在性问题,一般先假设存在,再利用若存在则具备什么关系来建立求变量的方程,若求出则说明假设成立;若求不出则假设不成立,即不存在,具有开放性结论的命
10、题是近年来高考命题的热点之一.,4. 已知函数f(x)= (kZ)满足f(2)f(3). (1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式; (2)对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在正数q,使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间-1,2上的值域为 .若存在，求出q;若不存在，说明理由.,举一反三,解析：(1)由f(2)0,-10满足题设.由（1）知g(x)=-q +(2q-1)x+1,x-1,2. g(2)=-1,两个最值点只能在端点(-1,g(-1)和顶点 处取得. 而 g(x)max= , g(x)min=g(-1)=2-3q=-4，解得q=2. 存在q=2满足题意.
11、,4. 已知幂函数y= (mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,求满足 的实数a的取值范围.,正解： 函数在(0,+)上单调递减, 0时, 0, 等价于a+13-2a0或3-2aa+10或a+103-2a,解得a-1或 a . 故实数a的取值范围为,易错警示,错解 由于y=x- 是(-,0),(0,+)上的减函数，故有a+13-2a, 解得a .,10. 给定一组函数解析式:y= ;y= ;y= ;y= y= ;y= ;y= ,如图所示为一组函数图象,请把图象对应的解析式的号码填在相应图象下面的横线上,考点演练,11. (2010开封调研）已知函数f(x)= ，且f(4)=- . (1)求m的值; (2)判断f(x)在(0,+)上的单调性，并给予证明.,解析：（1）f(4)=- , ,m=1. (2)f(x)= -x在(0,+)上单调递减， 证明如下： 任取 ,则 . , . , , 即f(x)= -x在(0,+)上单调递减.,12. 若f(x)= (nZ)的图象在0,+)上单调递增,解不等式 .,解析: 由已知得 0,解得-1x+3, 解得x3或x-1; 当n=1时,f(x)= , 此时原不等式可化为,解得x3或-3x3或x3或-3x-1.,
