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1、2019衡水名师原创理科数学专题卷专题十一 立体几何考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-8题,13-15题，17-19题)考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题）考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,20题）考点36：直线、平面垂直的判定与性质（17-19,21,22题）考点37：与空间角和距离有关的计算（11,12题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题1.如图,三棱锥的底面是等腰直角三角形, ,侧面与底面垂直,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为(
2、 )A. B. C. D. 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.B.C.D.3某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.164.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D. 5某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为( )A.B.C.D.6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A. B. C. D. 7.如图,正方体的棱长为,以顶点为球心, 为半径作一个球,则图中
3、球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A. B. C. D. 8.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( )A. B. C. D. 9.已知,是两条不同的直线, ,是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则10.如图,在正方形中,点,分别是,的中点,将沿所在直线进行翻折,将沿所在直线进行翻折,在翻折过程中( )A.点与点在某一位置可能重合B.点与点的最大距离为C.直线与直线可能垂直D.直线与直线可能垂直11.已知三棱柱,侧棱与底面垂直, ,点分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 12.已知直
4、二面角为垂足为垂足.若,则到平面的距离等于() A. B. C. D. 二、填空题13.一个几何体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的体积为_。14.在棱长为的正方体中, 为的中点,在面中取一点,使最小,则最小值为_.15用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包好,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是.16.正方体中, 是棱的中点, 是侧面内的动点,且平面,若正方体的棱长是,则的轨迹被正方形截得的线段长是_.三、解答题17.已知等腰梯形中(如图1), ,为边上一点,且,将沿折起,使面面 (如图2)1.证明: 2.若为上一点,且平面,求的长3.在满足的情况下,求多面体的体积18.如图
5、,点是以为直径的圆上一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.1.证明: 平面;2.证明:平面平面;3.求三棱锥的体积.19.如图,已知中, ,平面,、分别是、上的动点,且 ().1.判断与平面的位置关系并证明;2.若,求三棱锥的体积.20.如图1,在矩形中, ,为AD中点,把沿翻折到的位置,使得,如图21.若为的中点,求证: 平面; 2. 求二面角的余弦值21.如图,在四棱锥中, 底面,.1.求证:平面平面;2.棱上是否存在一点,使得二面角的余弦值为.若存在,请说明点的位置;若不存在,请说明理由22.如图,四面体中, 是正三角形, 是直角三角形, ,. 1.证明:平面平面;2.过的平面交
6、于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值。参考答案 一、选择题1.答案：B解析：设的长为,侧面的边上的高为,则,其侧视图是由底面三角形的边上的高与侧面三角形的边上的高组成的直角三角形,其面积为【考点】三视图、空间几何体特点.2.答案：B解析：答案： B解析： 由三视图可画出立体图如图所示,该立体图平面内只有两个相同的梯形的面,故选B.4.答案：D解析：答案： B解析： 由三视图知,该几何体是一棱长为的正方体和一底面半径为 、高为的圆柱的组合体其表面积表6.答案：C解析：由三视图可知,四棱锥底面是边长为的正方形,棱平面,且,如图.是该四棱锥的最长棱,.7.答案：A解析：如图,球
7、面于正方体的两个面都相交,所得的交线分别为两类,一类在顶点所在的是三个面上,即、面和面上,另一类在不过顶点的三个面上,即、面、和面上,在面上,交线为弧且过球心的大圆上,因为,则,同理,所以,所以弧的长为,而这样的弧共有三条,在面上,交线为弧且在距离球心为的平面上与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为,半径为,所以,所以弧的长为,于是所得曲线的长为,故选A.8.答案：C解析：9.答案：D解析：A不正确,因为垂直于同一条直线的两个平面平行;B不正确,垂直于同一个平面的两个平面平行或相交;C平行于同一条直线的两个平面平行或相交;D正确.10.答案：D解析：A不正确,点,恒不重合;B不成立,点和点
8、的最大距离是正方形的对角线;C不正确,不可能垂直,D选项,当平面平面时,平面平面,直线与直线垂直,故选D.11.答案：B解析：12.答案：C解析：选C.如图,作于点E,由为直二面角得进而又于是平面故为到平面的距离.在中,利用等面积法得二、填空题13.答案：解析：此几何体是由一个长为,宽为,高为的长方体与底面直径为,高为的圆锥组合而成的,故.14.答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则,因为关于平面的对称点为,由题设可知当,三点共线时,最小,其最小值为,故答案为. 答案： 8解析： 如图为棱长为的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形
9、,如图所示,由图知正方形的边长为,其面积为.16.答案：解析：如下图所示,设平面与直线交与点,连接,则为的中点,分别取,的中点,连接,因为,则平面,同理可得平面,所以平面平面,由于平面,所以平面,所以点的轨迹被正方形截得的线段是,其长度是. 三、解答题17.答案：1.证明:因为平面,平面平面,面面所以平面又因为平面,所以2.连结交于点,由平几知识得,因为平面,平面,平面平面,所以,因为,所以,又因为,所以,又,所以,又中, ,所以3.由知, ,所以,所以到平面的距离是到平面距离的,解析：18.答案：1.如图,取的中点,连接、.在三角形中, 是的中点, 是的中点,在直角梯形中, ,且,四边形是平
10、行四边形,面面,又面,平面.2.是圆的直径, 点在圆上,又平面平面,平面平面,平面,平面,平面平面.3.由2知平面,可得是三棱锥的高线,中, .因此三棱锥的体积=三棱锥的体积.解析：19.答案：1. 平面.证明:因为平面,所以,又在中, ,所以,又,所以平面,又在中,、分别是、上的动点,且 (),所以,因为平面,所以平面,所以,不论为何值,总有平面.2. 在中, ,所以,又平面,所以,又在中, ,所以,由1知平面,所以,所以,三棱锥的体积是.解析：20.答案：1.证明:取的中点,连接由,又,四边形为平行四边形,平面,平面,平面2.取中点,连接,以为轴, 为轴, 为轴,如图建系,平面的法向量为,设平面的法向量为,设,则,平面的法向量为,解析：21.答案：1.证明:平面,平面平面平面平面平面2.以为坐标原点,以所在射线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示,由点向作垂线,则,所以所以设,因为在棱上,所以 (), 所以设平面的法向量,则设平面的法向量,取,则,所以所以,解得,所以存在即为中点时,使得二面角的余弦值为解析：22.答案：1.正,设.,在中.,取中点,连,则,在,.,.,面,面.面,面面.2.,以为原点, ,分别为,轴平面把四面体分成体积相等的两部分,.即为中点,.,.设面向量为,令,设面的向量,令,.,二面角的平面角是锐角,二面角的余弦为.解析：
