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1、46不等式选讲1(2014重庆改编)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围解设y|2x1|x2|当x5;当2x;当x时,y3x1,故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,所以a2a2.解不等式a2a2,得1a,故a的取值范围为1,2(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3.(1)当a2时,求不等式f(x)1,且当x时,f(x)g(x),求a的取值范围解(1)当a2时,不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3,则y其图象如图所示,由图象可知,当且
2、仅当x(0,2)时,y0,原不等式的解集是x|0x1,则,f(x)|2x1|2xa|当x时,f(x)a1,即a1x3在x上恒成立a13,即a,a的取值范围为.3(2013福建)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A,且A,A,(1)求a的值;(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因为A,且A,所以a,且a,解得0,b0,且.(1)求a3b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a3b6?并说明理由解(1)由,得ab2,且当ab时等号成立故a3b324,且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a3b6.5设函数f(
3、x)|xa|3x,其中a0.(1)当a1时,求不等式f(x)3x2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1,求a的值解(1)当a1时,f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0,所以不等式组的解集为x|x由题设可得1,故a2.6若3x4y2,试求x2y2的最小值解由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2,得25(x2y2)4,所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立,x2y2取得最小值,由方程组解得因此当x,y时,x2y2取得最小值,最小值为.7(201
4、3课标全国)设a、b、c均为正数,且abc1,证明:(1)abbcca;(2)1.证明(1)由a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21,即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1,即abbcca.(2)因为b2a,c2b,a2c,故(abc)2(abc),即abc.所以1.8(2014课标全国)设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)解f(3)|3a|.当a3时,f(3)a,由f(3)5,得3a.当0a3时,f(3)6a,由f(3)5,得|x
5、1|成立,求实数x的取值范围解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2又a22b23c26,66(a2b3c)2,6a2b3c6,存在实数a,b,c,使得不等式a2b3c|x1|成立|x1|6,7x5.x的取值范围是x|7x510(2014福建)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足pqra,求证:p2q2r23.(1)解因为|x1|x2|(x1)(x2)|3,当且仅当1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a3.(2)证明由(1)知pqr3,又因为p
6、,q,r是正实数,所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29,即p2q2r23.11已知f(x)|x1|x1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求M;(2)当a,bM时,证明:2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时,由2x4,得2x1;当1x1时,f(x)21时,由2x4,得1x2.综上可得2x2,即M(2,2)(2)证明a,bM,即2a2,2b2,4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0,4(ab)2(4ab)2,2|ab|4ab|.12设a,b,c均为正实数,试证明不等式,并说明等号成立的条件解因为a,b,c均为正实数,所以,当且仅当ab时等号成立;,当且仅当bc时等号成立;,当且仅当ac时等号成立三个不等式相加,得,当且仅当abc时等号成立