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1、广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合A=1，2z2，zi，B=2，4，i为虚数单位，若AB=2，则纯虚数z为（）AiBiC2iD2i2（5分）已知随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ Xk）=P（ Xk4），则k的值为（）A6B7C8D93（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（）A2B1CD4（5分）以下说法错误的是（）A“log3alog3b”是“（）a（）b充分不必要条件B，R，使sin（+）=sin+sinCmR，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+）上单调递增D命题“xR，x2+13x”的否定
2、是“xR，x2+13x”5（5分）已知x，y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或16（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A100（3+）cm2B200（3+）cm2C300（3+）cm2D300cm27（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成0，5），5，10），10，15），15，20），20，25），25，30），30，35）
3、，35，40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）ABCD8（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）Af（x）=（x1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称Bf（x）=2x11，T将函数f（x）的图象关于x轴对称Cf（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称D，T将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题（共5小题）9（5分）不等式|x1|x1的解集为10（5分）已知等差数列an满足a2+a4+a2
4、012+a2014=8，且Sn是该数列的前n和，则S2015=11（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有种不同走法12（5分）如图，在ABC中，B=，点D在BC上，cosADC=，则cosBAD=13（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S的取值范围是三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为四、几何证明选做题（满分0分）15如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，
5、已知BPA=30，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于五、解答题（共6小题）16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（2015）=3（1）求A的值（2）指出函数f（x）在x0，8上的单调区间（不要求过程）（3）若f（1）+f（+1）=，a0，求cos2a17（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三
6、星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率以此样本估计总体，试解决以下问题（）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望18（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA面ABC，BAC=120，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：MNAB（2）求二面角PANM的余弦值19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意nN+都有2Snnan+1=0，数列bn满足bn=，T（
7、n）是数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+T（n1）=nT（n）（3）设An=+，试证：An20（14分）已知a0，且a1函数f（x）=loga（1ax）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1ef（x）（x2m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值21（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+
8、y2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合A=1，2z2，zi，B=2，4，i为虚数单位，若AB=2，则纯虚数z为（）AiBiC2iD2i考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据A，B，以及A与B的交集，得到元素2属于A，列出关于z的方程，求出方程的解即可确定出z解答：解：A=1，2z2，zi，B=2，4，且AB=2，2z2=2或zi=2，解得：z=1（不合题意，舍去）或z=2i，则纯虚数z为2i故选：D点评：此题考查了
9、交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ Xk）=P（ Xk4），则k的值为（）A6B7C8D9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据正态曲线关于x=5对称，得到两个概率相等的区间关于x=5对称，得到关于k的方程，解方程即可解答：解：随机变量 X服从正态分布 N（5，4），且 P（ Xk）=P（ Xk4），k=7，故选B点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=5对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题3（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离
10、为（）A2B1CD考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离解答：解：抛物线y=x2可知焦点F（0，1），准线方程y=1，焦点到准线的距离是1+1=2故选：A点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属基础题4（5分）以下说法错误的是（）A“log3alog3b”是“（）a（）b充分不必要条件B，R，使sin（+）=sin+sinCmR，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+）上单调递增D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”考点：命
11、题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：A“log3alog3b”ab0“（）a（）b，即可判断出；B，=0R，使sin（+）=sin+sin；Cm=1R，使f（x）=x3在（0，+）上单调递增；D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”，即可判断出解答：解：A“log3alog3b”ab0“（）a（）b，因此“log3alog3b”是“（）a（）b充分不必要条件，正确；B，=0R，使sin（+）=sin+sin，正确Cm=1R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+）上单调递增，正确；D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”，因此不正确故选：D点
12、评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题5（5分）已知x，y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一
13、，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义6（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A100（3+）cm2B200（3+）cm2C300（3+）cm2D300cm2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积解答：解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为1010=100，与底面垂直的两个侧
