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1、北京四中2015届高三上学期期 中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则MN=（）A1B2C0，1D1，22（5分）设a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDbca3（5分）已知i是虚数单位，a，bR，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）ABx+y+1=0Cx+y1=0D5（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实
2、数k=（）AB0C3D6（5分）若函数f（x）=x2+（aR），则下列结论正确的是（）AaR，f（x）在（0，+）上是增函数BaR，f（x）在（0，+）上是减函数CaR，f（x）是偶函数DaR，f（x）是奇函数7（5分）已知等差数列an单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A（2，4）B（，2）C（2，+）D（4，+）8（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（1，1）CD（，1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）在等差数列an中，已知a2+a4=6，则该数列前5项和S5=10（5分）
3、若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为11（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60，则cosB=12（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为13（5分）已知向量，满足|=1，=（2，1），且+=（R），则|=14（5分）已知实数a0且a1，函数f（x）=，若数列an满足an=f（n）（nN*），且an是等差数列，则a=，b=三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15（13分）已知函数f（x）=2x，xR（）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；
4、（）求函数f（x）在上的最大值与最小值16（13分）设数列an的前n项和为Sn，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（）求a1，并求数列an的通项公式；（）求数列nan的前n项和17（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若B=，BC边上中线AM=，求ABC的面积18（13分）已知aR，函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若|a|1，求f（x）在闭区间上的最小值19（14分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F
5、1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程20（14分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数（）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：； 第二组：f1（x）=x2x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2x+1；（）设，生成函数h（x）若不等式3h2（x）+2h（x）+t0在x上有解，求实数t的取值范围；（）设，取a=1，b0，生成函数h（x
6、）使h（x）b恒成立，求b的取值范围北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则MN=（）A1B2C0，1D1，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论解答：解：N=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，MN=1，2，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）设a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDbca考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函
7、数的单调性即可得出解答：解：a=1，b=0，0c=1，acb故选：C点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题3（5分）已知i是虚数单位，a，bR，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件 专题：简易逻辑分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条
8、件；当“（a+bi）2=a2b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题4（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）ABx+y+1=0Cx+y1=0D考点：圆的切线方程；直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=x+b，即x+y+b=0根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离
9、等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程解答：解：设所求的直线为l，直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=1设直线l方程为y=x+b，即x+yb=0直线l与圆x2+y2=1相切，圆心到直线的距离d=，解之得b=当b=时，可得切点坐标（，），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，b=不符合题意，可得b=，直线方程为x+y=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与
10、圆的位置关系等知识，属于基础题5（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可解答：解：=（k，3），=（1，4），=（2，1）23=（2k3，6），（23），（23）=02（2k3）+1（6）=0，解得，k=3故选：C点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错6（5分）若函数f（x）=x2+（aR），则下
11、列结论正确的是（）AaR，f（x）在（0，+）上是增函数BaR，f（x）在（0，+）上是减函数CaR，f（x）是偶函数DaR，f（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：利用导数考查函数f（x）=x2+（aR）的单调性，可对A、B选项进行判断；考查函数f（x）=x2+（aR）的奇偶性，可对C、D选项的对错进行判断解答：解析：f（x）=2x，故只有当a0时，f（x）在（0，+）上才是增函数，因此A、B不对，当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此C对，D不对答案：C点评：本题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础题7（
12、5分）已知等差数列an单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A（2，4）B（，2）C（2，+）D（4，+）考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用a1+a10=4，可得a1=2，表示出a8，即可求a8的取值范围解答：解：设公差为d，则a1+a10=4，2a1+9d=4，a1=2，a8=a1+7d=2+d，d0，a8=2+d2故选：C点评：正确利用等差数列的通项公式是解题的关键8（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（1，1）CD（，1考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用
13、分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x1）只有一个交点，数形结合求得k的范围解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x1）（蓝线部分）只有一个交点直线y=k（x1）经过定点（1，0），斜率为k当 0x1时，f（x）=1，当x1时，f（x）=，故选：D点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）在等差数列an中，已知a2+a4=6，则该数列前5项和S5=15考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由性质可得a1+a5=a2+a4=6，代入求和公式计算可得解答：解：在等差数列an中a2+a4=6，由等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=6，数列前5项和S5=15故答案为：15点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基
