《2018高考数学总复习 第6单元 第4节 数列求和课件 文 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学总复习 第6单元 第4节 数列求和课件 文 新人教a版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 数列求和,基础梳理,n2,等差,等比,(5)分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或其他常见数列，即先分别求和，然后再合并，形如： an+bn,其中an是等差数列，bn是等比数列； ,基础达标,1. （2011威海模拟)设f(n)=2+24+27+23n+1(nN*),则f(n)等于( ) A. (8n-1) B. (8n+1-1) C. (8n+2-1) D. (8n+3-1),解析:由题意发现，f(n)是一个以2为首项，公比q=23=8，项数为n+1的等比数列的和.由公式可得 f(n)=Sn+1= (8n+1-1).,2.
2、 (教材改编题)数列an的前n项和为Sn，若an= 则S5等于( ) A. 1 B. C. D.,解析： an S5=(1- )+( - )+( - )=1- = .,3. 数列an的通项公式是an= (nN*)，若前n项的和为10，则项数n为（ ） A. 11 B. 99 C. 120 D. 121,解析:an= ,a1= -1,a2= - ,an= ,Sn= -1=10，n=120.,解：该数列的前n项和Sn=a1+a2+an,而 an=1+2+22+2n-1= . Sn=(21-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(2+22+2n)-n =,题型一 利用错位相减法求和,【例1
3、】在数列an中，a1=1,an+1=2an+2n. (1)设bn= ,证明:数列bn是等差数列； （2）求数列an的前n项和Sn.,分析:(1)求bn+1，观察bn与bn+1的关系. （2）由an=n2n-1的特点可知，运用错位相减法求Sn.,（1）证明：由已知an+1=2an+2n,得 bn+1= 又b1=a1=1,bn是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由(1)知 =n,即an=n2n-1， Sn=1+221+322+n2n-1, 两边乘以2得:2Sn=2+222+n2n,两式相减得 Sn=-1-21-22-2n-1+n2n=-(2n-1)+n2n=(n-1)2n+1.,变式1-1,已
4、知数列an是首项a1=1的等比数列，且an0,bn是首项为1的等差数列，又a5+b3=21,a3+b5=13. (1)求数列an和bn的通项公式； （2）求数列 的前n项和Sn.,解：（1）设an的公比为q,bn的公差为d,则由 已知条件得： 解得d=2,q=2或q=-2(舍去), an=2n-1,bn=1+2(n-1)=2n-1.,题型二 利用裂项相消法求和,【例2】(2011重庆南开中学月考)已知公差不为零的等差数列an的前6项和为60,且a6是a1和a21的等比中项. （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足:bn+1=bn+an(nN*)且b1=3,求数列 的前n项和为Tn.
5、,分析:设出基本量，利用累加法求出bn,然后写出Tn.,解：（1）设an的公差为d，则 an=2n+3(nN*). (2)bn+1-bn=2n+3,b2-b1=21+3,b3-b2=22+3, bn-bn-1=2(n-1)+3,叠加得bn=n(n+2), ,变式2-1,已知等比数列an中，a1=2,公比q=2,又等差数列bn中，b2=a1,b8=a3. (1)求数列bn的通项公式bn及前n项和Sn; (2)若cn= ,求数列cn的前n项和Tn.,解：(1)由已知a3=a1q2=8，则 设bn的首项为b1,公差为d,则 解得b1=1,d=1,故bn=1+(n-1)1=n, Sn=n1+ 1= (
6、2)由(1)知cn= Tn=c1+c2+cn,题型三 利用倒序相加法求和,【例3】设函数f(x)= 图象上有两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)，若P为P1P2的中点，且P点的横坐标为 . (1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值； （2）求f( )+f( )+f( ).,分析:（1）由已知函数图象上两点P1,P2可得 设P(x,y),根据中点坐标公式去求y= . (2)根据（1）的结论：若x1+x2=1，则由f(x1)+f(x2)=1可以得到f( )+f( )=1，利用倒序相加法进行求解.,解:(1)证明:P为P1P2的中点，x1+x2=1,yP= 又 yP=,题型四 利用分组法
7、求和,(2)由x1+x2=1,得y1+y2=f(x1)+f(x2)=1,f(1)= 设 又 即,【例4】已知数列an的首项a1= ,an+1= ,n=1,2,. (1)求证：数列 是等比数列； （2）求数列 的前n项和Sn.,分析:(1)由已知条件利用等比数列的定义证明， 即从an+1= 得到 与 的等式关系. （2）充分利用（1）的结论得出 欲求数 列 的前n项和Sn可先求出 的值.,变式4-1,(2011海淀区期中考试)已知在等比数列an中，a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项. （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足bn=2n-1+an(nN*)，求bn的前n项和Sn.
8、,易错警示,(1)设等比数列an的公比为q,a2是a1和a3-1的等差中项，2a2=a1+(a3-1)=a3, q= =2,an=a1qn-1=2n-1(nN*). (2)bn=2n-1+an, Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+(2n-1+2n-1) =1+3+5+(2n-1)+(1+2+22+2n-1),【例】求和:,错解 Sn,错解分析等比数列的求和公式应分q=1和q1两种情况讨论.上述解答只求了x1且y1的一种情况.,链接高考,正解:(1)当x1且y1时， (2)当x1且y=1时, (3)当x=1且y1时， (4)当x=1且y=1时，Sn=2n.,(2010山东)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn= (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.,知识准备：1. 会用等差数列的通项公式与前n项和公式； 2. 会用裂项法求数列的和.,
