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1、牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。2、 迭代公式用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设，对在点作泰勒展开：略去二次项，得到的线性近似式：。由此得到方程0的近似根(假定0)，即可构造出迭代格式(假定0)： 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列收敛于，则就是非线性方程的根。2、 牛顿迭代法也称
2、为牛顿切线法，这是由于的线性化近似函数是曲线过点的切线而得名的，求的零点代之以求的零点，即切线与轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由得到，从几何图形上看，就是过点作函数的切线，切线与轴的交点就是，所以有，整理后也能得出牛顿迭代公式：。3、 要保证迭代法收敛，不管非线性方程0的形式如何，总可以构造： 作为方程求解的迭代函数。因为：而且在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：若0(即根不是0的重根)，则由得：，因此可令，则也可以得出迭代公式：。4、 迭代法的基本思想是将方程改写成等价的迭代形式，但随之而来的问题却是
3、迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程，其加速公式具有形式：，其中记，上面两式可以合并写成：这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：。需要注意的是，由于是的估计值，若取，则实际上便是的估计值。假设，则可以用代替上式中的，就可得到牛顿法的迭代公式：。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。3、 算法描述用Newton法求方程f（x）=0的一个解输入 初始值x0；误差容限TOL；最大迭代次数m输出 近似解p或失败信息Step1 Step2 对i=1，2，.，m做setp34Setp3Setp4若，则输出
4、（p），停机，否则Setp5输出失败信息；停机注：在第4步中的迭代终止准则可用： 四、C语言代码求一元四次方程的解double func(double x) /函数 return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; double func1(double x) /导函数 return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) /初始值， 精度， 迭代次数 double x1,x0; int k; x0=*x; for(k=0;kmaxcyc;k+) if(func1(x0)=0
5、.0)/若通过初值，函数返回值为0 printf(迭代过程中导数为0!n); return 0; x1=x0-func(x0)/func1(x0);/进行牛顿迭代计算 if(fabs(x1-x0)precision | fabs(func(x1)precision) /达到结束条件 *x=x1; /返回结果 return 1; else /未达到结束条件 x0=x1; /准备下一次迭代 printf(迭代次数超过预期!n); /达到迭代次数，仍没有达到精度 return 0; int main() double x,precision; int maxcyc; printf(输入初始迭代值x0
6、:); scanf(%lf,&x); printf(输入最大迭代次数:); scanf(%d,&maxcyc); printf(迭代要求的精度:); scanf(%lf,&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)=1) /若函数返回值为1 printf(该值附近的根为:%lfn,x); else /若函数返回值为0 printf(迭代失败!n); getch(); return 0; 5、 二元函数的牛顿迭代法设z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h，y0+k）为此邻域内任意一点，则有其中于是方程f（x，y)=0可近似表示为即同理，设z=g（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h，y0+k）为此邻域内任意一点，则同样有其中于是方程g（x，y)=0可近似表示为即于是得到方程组：求解这个方程组：当时雅可比行列式：所以，解可改写为：迭代公式为：
